Calcul intégral

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Auteur du sujet

Bonjour,

J'ai une question concernant cette primitive

$\int {\frac{{dx}}{{4 + \sin x}}} = 2\int\limits_{}^{t = \tan (\frac{x}{2})} {\frac{{dt}}{{4{t^2} + 2t + 4}}} = 2\int {\frac{{dt}}{{{{(2t + \frac{1}{2})}^2} + \frac{{15}}{4}}}} = \int\limits_{}^{u = 2t + \frac{1}{2}} {\frac{{du}}{{{u^2} + \frac{{15}}{4}}} = \int {\frac{{15}}{4}.\frac{{\sqrt {15} }}{2}\frac{{\frac{2}{{\sqrt {15} }}du}}{{{{(\frac{2}{{\sqrt {15} }}u)}^2} + 1}}} } $

$ = \frac{{15\sqrt {15} }}{8}{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{4\tan (\frac{x}{2}) + 1}}{{\sqrt {15} }})$ (est une primitive)

Je pense que ma façon de procéder est correcte par contre je n'arrive presque jamais sur le bon facteur devant. Je sais que ce qui est à l'intérieur (corrigé) de l'arc tangente est correct mais je vois vraiment pas pourquoi le facteur devant est faux. Vu qu'à l'exam on me demandera que des intégrales (avec bornes) c'est ce genre de facteurs qui va tout foutre en l'air…

Merci!

Édité par ZDS_M

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Avant dernière égalité, ce n'est pas $\frac {15}4$ que tu dois mettre en évidence, mais bien $\frac 4{15}$. Dès lors, tu as :

$$\frac 4{15}\frac {\sqrt {15}}2\int\frac {\frac 2{\sqrt {15}}du}{\left(\frac 2{\sqrt {15}}u\right)^2+1} = \frac {2\sqrt {15}}{15}\tan\left(\frac {4\tan\left(\frac x2\right)+1}{\sqrt {15}}\right)$$

Le hasard n'est que le nom donné à notre ignorance et n'existerait pas pour un être ominscient., Émile Borel

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