Intégration

Bonjour,

J'ai des questions pour les intégrales suivantes:

1. $\int\limits_0^{\pi /3} {\frac{{\sin x}}{{1 + \cos x + {{\tan }^2}x}}dx} $

Je ne vois pas quel changement de variable faire. J'ai essayé par $t = \tan \frac{x}{2}$ mais ça ne donne rien (trop compliqué j'ai l'impression).

1. $\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin x}}{{1 + \sin x}}dx} $

Ce que j'ai fais: $\int {\frac{{\sin x + 1 - 1}}{{1 + \sin x}}dx} = \int {dx - \int {\frac{1}{{1 + \sin x}}dx} } $

$\int {\frac{1}{{1 + \sin x}}dx} = \int\limits_{t = \tan (\frac{x}{2})} {\frac{1}{{1 + \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}}}} .\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}} = 2\int {\frac{{dt}}{{{t^2} + 2t + 1}} = 2\int {\frac{{dt}}{{{{(t + 1)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{t + 1}}} } $

$\int {\frac{{\sin x + 1 - 1}}{{1 + \sin x}}dx} = \int {dx - \int {\frac{1}{{1 + \sin x}}dx} } = x + \frac{2}{{\tan (\frac{x}{2}) + 1}}$

Je voulais savoir si c'était juste et aussi s'il y avait peut-être une manière plus simple ou plus jolie d'arriver au résultat ! Merci

Edit: à mon avis elle est fausse car j'ai vérifié avec la calculatrice et l'intégrale (entre 0 et pi/2) ne me donne pas la même chose!

Pour la première intégrale, il y a effectivement un meilleur changement de variable. Dans ce genre de cas on utilise les règles de Bioche

J'y avais pensé et ça me donnais un changement en sinus. Cependant, j'ai pas l'impression que ça m'aide beaucoup:

$\int {\frac{1}{{1 + \cos x + \frac{{{u^2}}}{{{{\cos }^2}x}}}}\frac{{du}}{{\cos x}}} = \int {\frac{{u\sqrt {1 - {u^2}} }}{{1 + (1 - {u^2})\sqrt {1 - {u^2}} }}du} $

ce qui est pas beaucoup plus simple j'ai l'impression?

Non c'est pas un sinus mais un cosinus, tu t'es trompé. J'ai l'impression que tu vas toujours trop vite.