Intégration

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Bonjour,

J'ai des questions pour les intégrales suivantes:

  1. $\int\limits_0^{\pi /3} {\frac{{\sin x}}{{1 + \cos x + {{\tan }^2}x}}dx} $

Je ne vois pas quel changement de variable faire. J'ai essayé par $t = \tan \frac{x}{2}$ mais ça ne donne rien (trop compliqué j'ai l'impression).

  1. $\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin x}}{{1 + \sin x}}dx} $

Ce que j'ai fais: $\int {\frac{{\sin x + 1 - 1}}{{1 + \sin x}}dx} = \int {dx - \int {\frac{1}{{1 + \sin x}}dx} } $

$\int {\frac{1}{{1 + \sin x}}dx} = \int\limits_{t = \tan (\frac{x}{2})} {\frac{1}{{1 + \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}}}} .\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}} = 2\int {\frac{{dt}}{{{t^2} + 2t + 1}} = 2\int {\frac{{dt}}{{{{(t + 1)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{t + 1}}} } $

$\int {\frac{{\sin x + 1 - 1}}{{1 + \sin x}}dx} = \int {dx - \int {\frac{1}{{1 + \sin x}}dx} } = x + \frac{2}{{\tan (\frac{x}{2}) + 1}}$

Je voulais savoir si c'était juste et aussi s'il y avait peut-être une manière plus simple ou plus jolie d'arriver au résultat ! Merci :)

Edit: à mon avis elle est fausse car j'ai vérifié avec la calculatrice et l'intégrale (entre 0 et pi/2) ne me donne pas la même chose!

Édité par ZDS_M

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Auteur du sujet

J'y avais pensé et ça me donnais un changement en sinus. Cependant, j'ai pas l'impression que ça m'aide beaucoup:

$\int {\frac{1}{{1 + \cos x + \frac{{{u^2}}}{{{{\cos }^2}x}}}}\frac{{du}}{{\cos x}}} = \int {\frac{{u\sqrt {1 - {u^2}} }}{{1 + (1 - {u^2})\sqrt {1 - {u^2}} }}du} $

ce qui est pas beaucoup plus simple j'ai l'impression?

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