Théorème de la valeur intermédiaire

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Bonjour à tous,

Bonne année tout d'abord!

J'ai une question concernant le Th. de la valeur intermédiaire. Soit $f:\left[ {0;2} \right] \to R\]$ une fonction continue avec $f(0) = f(2)$. Alors, il existe $\alpha \in \left[ {0;1} \right]$ tel que $f(\alpha ) = f(\alpha + 1)$ . C'est une question du type vrai/faux du coup je ne sais pas si c'est juste mais j'aimerais savoir comment s'y prendre car j'ai toujours eu pas mal de difficultés avec ce genre de preuves. La façon dont la question est posée me fait penser au Th. de Rolle et au TVI, d'ailleurs plus au TVI car on ne parle pas de la différentiabilité de la fonction.

Si vous avez des exercices du type comme celui-ci un peu différents, je suis preneur! :)

Édité par ZDS_M

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Ok, wait.

Je pense qu'il faut supposer $f(x) - f(x+1)$ de signe constant :

  • Si pour tout $x \in [0,1]$, $f(x) > f(x+1)$ : alors tu évalues en $x=1$ et en $x=0$. Tu obtiens $f(0) > f(1) > f(2)$, contradiction.
  • Si pour tout $x \in [0,1]$, $f(x) < f(x+1)$ : alors tu évalues en $x=1$ et en $x=0$. Tu obtiens $f(0) < f(1) < f(2)$, contradiction.

Ensuite, tu devrais pouvoir appliquer le tvi.

Édité par Nobody

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Auteur du sujet

J'ai pas trop compris les idées des contradictions mais en étudiant la fonction auxiliaire c'est effectivement simple de voir qu'on a $g(0) = - g(1)$ et ainsi cette fonction auxiliaire s'annule au moins une fois sur l'intervalle fermé O;1. Donc la proposition est vraie. Cependant, si on m'avait posé la question de l'unicité c'est quelque chose qu'on ne peut pas affirmer ou je me trompe (sauf si j'ai des infos sur la monotomie de f) ?

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J'ai pas trop compris les idées des contradictions

f(0) > f(2) ou f(0) < f(2) c'est incompatible avec f(0)=f(2). Comme les deux cas ne sont pas possibles, on a déduit que f(x) - f(x+1) s'annule sur [0;1] (continuité).

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