Calcul de limite

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Bonjour,

J'aimerais essayer de calculer la limite suivante:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\frac{{{e^x} - 1}}{x})}}{x}$

Ce que j'ai essayé de faire:

On sait que $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1$ Ce qu'on peut écrire sous la forme ${e^x} - 1 = \phi (x)x$$\phi (x) \to 1$ lorsque x tend vers 0. Ainsi,

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\frac{{{e^x} - 1}}{x})}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\frac{{\phi (x)x}}{x})}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \phi (x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\phi '(x)}}{{\phi (x)}}$ où on a utilisé la règle de Bernoulli-l'Hospital.

J'aurais donc conclu à une limite égale à 1. C'est cependant faux vu que le corrigé me donne 1/2 comme réponse (sans raisonnement). J'ai ensuite pensé à faire un DLn mais il me paraît un peu compliqué du coup je demandais s'il n'y pas plus facile/rapide. De plus, je ne saurais pas à quel ordre m'arrêter…

Je pense que ma méthode en haut ne fonctionne pas car je n'ai aucune information sur sa dérivée.

Merci d'avance!

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Staff

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De plus, je ne saurais pas à quel ordre m'arrêter…

Essaye toujours des ordres qui concordes avec les polynômes en jeu. Là t'as du $x$, donc un ordre 1 ou 2 devrait suffire.

$$ \frac{\ln([e^x-1]/x)}{x} \simeq \frac{\ln(1+x/2)}{x}\simeq \frac{x/2}{x} = \frac{1}{2} $$

ce qui correspond au corrigé. Je te laisse faire les détails techniques.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

De plus, je ne saurais pas à quel ordre m'arrêter…

Essaye toujours des ordres qui concordes avec les polynômes en jeu. Là t'as du $x$, donc un ordre 1 ou 2 devrait suffire.

$$ \frac{\ln([e^x-1]/x)}{x} \simeq \frac{\ln(1+x/2)}{x}\simeq \frac{x/2}{x} = \frac{1}{2} $$

ce qui correspond au corrigé. Je te laisse faire les détails techniques.

Holosmos

Merci. C'est donc la seule façon de faire pour cette limite ? Du coup, effectivement après calculs j'obtient:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\frac{{{e^x} - 1}}{x})}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x{e^x} - {e^x} + 1}}{{x({e^x} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{x^2}}}{2} + o({x^2})}}{{{x^2} + o({x^2})}} = \frac{1}{2}$

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Staff

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Je ne sais pas si c'est la seule, mais celle-ci marche :-)

Sinon j'ai pas bien vu comment tu passes de la première à la seconde égalité.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Ta méthode ne marchait pas parce que tu ne sais rien sur ta fonction phi' (ni même si phi est dérivable d'ailleurs) et aussi parce que tu faisais des composés d'équivalents, ce qui ne marche pas (contre exemple : $n+1 \sim n $ en $+\infty$, mais $e^{-(n+1)}\not\sim e^{-n}$. Par contre effectivement, les DL sont alors la manière classique de résoudre le calcul de la limite.

Édité par Goeland-croquant

Ich bin très occupé cette année. Ne vous étonnez pas si je réponds par intermittence.

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Attends, tu n'as pas répondu à la demande de précision de Holosmos… T'as le bon résultat mais il me semble qu'il y a deux erreurs qui se compensent (je crois voir d'où vient la deuxième mais je n'ai aucune idée pour la première).

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