Diagonalisation orthogonale

Bonjour,

Je dois diagonaliser orthogonalement cette matrice et j'ai quelques questions.

Après les calculs on a $\lambda = 4$ (valeur propre) de multiplicité (algébrique) 1 et $\lambda = 1$ (valeur propre) de multiplicité (algébrique) 2 L'espace propre associé à $\lambda = 1$ est

On me demande "Est-ce que cette matrice est diagonalisable? Justifier votre réponse" Suffit-il de dire que la matrice donnée est symétrique (je sais qu'on peut dire que les multiplicités algébriques et géométriques sont égales mais n'est-il pas plus fort et toujours correct de simplement dire qu'elle est symétrique) ? Car après il me demande si elle est diagonalisable orthogonalement et je dis la même chose. Finalement, quand je dois orthodiagonaliser à la fin il me faut une base orthogonale de

(l'autre espace propre l'est d'après le Th. Spectral)

Je voulais savoir si on était obligé de passer par l'algorithme de Gram-Schmidt ou si un produit vectoriel faisait l'affaire en 3 dimensions ?

C'est beaucoup plus rapide dans R³ ! Et du coup je pourrais prendre comme vecteurs propres

et ou l'autre combinaison (avec l'autre vecteur ayant servit au produit vectoriel) et ça ferait l'affaire ?

Merci!

Oui, les matrices symétriques à coefficients réels sont diagonalisables.

Sinon ce que tu as fait avec le produit vectoriel doit encore être compléter (pour bien avoir trois vecteurs orthogonaux et propres) mais l'idée me paraît pas mauvaise.

Merci bien! Les matrices symétriques à coefficients complexes ne sont pas forcément diagonalisables ?

Bien sûr que j'ai pas fini (normaliser les vecteurs,…) mais je voulais juste savoir si le produit vectoriel faisait l'affaire ici! Par simple curiosité, existe-t-il un produit vectoriel dans des espaces de dimension supérieures à 3 (ie. R⁴ , R⁵ , etc.) ?

Merci beaucoup