Diagonalisation orthogonale

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Bonjour,

Je dois diagonaliser orthogonalement cette matrice et j'ai quelques questions.

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2 \end{array}} \right)$$

Après les calculs on a $\lambda = 4$ (valeur propre) de multiplicité (algébrique) 1 et $\lambda = 1$ (valeur propre) de multiplicité (algébrique) 2 L'espace propre associé à $\lambda = 1$ est

$$Vect(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&0 \end{array}} \right);\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&1 \end{array}} \right))$$

On me demande "Est-ce que cette matrice est diagonalisable? Justifier votre réponse" Suffit-il de dire que la matrice donnée est symétrique (je sais qu'on peut dire que les multiplicités algébriques et géométriques sont égales mais n'est-il pas plus fort et toujours correct de simplement dire qu'elle est symétrique) ? Car après il me demande si elle est diagonalisable orthogonalement et je dis la même chose. Finalement, quand je dois orthodiagonaliser à la fin il me faut une base orthogonale de

$$Vect(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&0 \end{array}} \right);\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&1 \end{array}} \right))$$
(l'autre espace propre l'est d'après le Th. Spectral)

Je voulais savoir si on était obligé de passer par l'algorithme de Gram-Schmidt ou si un produit vectoriel faisait l'affaire en 3 dimensions ?

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&0 \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1 \end{array}} \right)$$

C'est beaucoup plus rapide dans R3 ! Et du coup je pourrais prendre comme vecteurs propres

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&1 \end{array}} \right)$$
et
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1 \end{array}} \right)$$
ou l'autre combinaison (avec l'autre vecteur ayant servit au produit vectoriel) et ça ferait l'affaire ?

Merci!

Édité par ZDS_M

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Staff

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Oui, les matrices symétriques à coefficients réels sont diagonalisables.

Sinon ce que tu as fait avec le produit vectoriel doit encore être compléter (pour bien avoir trois vecteurs orthogonaux et propres) mais l'idée me paraît pas mauvaise.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Oui, les matrices symétriques à coefficients réels sont diagonalisables.

Sinon ce que tu as fait avec le produit vectoriel doit encore être compléter (pour bien avoir trois vecteurs orthogonaux et propres) mais l'idée me paraît pas mauvaise.

Holosmos

Merci bien! Les matrices symétriques à coefficients complexes ne sont pas forcément diagonalisables ?

Bien sûr que j'ai pas fini (normaliser les vecteurs,…) mais je voulais juste savoir si le produit vectoriel faisait l'affaire ici! Par simple curiosité, existe-t-il un produit vectoriel dans des espaces de dimension supérieures à 3 (ie. R4 , R5 , etc.) ?

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Dans le cas complexe, elles doivent suivrent la symétrie hermitienne, c'est-à-dire que la transposée de la matrice doit être égale au conjuguée de la matrice. Le théorème spectrale se démontre grâce au produit scalaire, donc de façon intuitive, le produit hermitien (qui généralise le produit scalaire dans le cas complexe) impose sa condition de symétrie sur le théorème.

Pour la généralisation du produit vectoriel, wikipédia parlera mieux que moi ! https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_vectoriel#D.C3.A9finition_par_le_produit_mixte

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