La définition en mathématiques

Pourquoi définir ? Comment les communiquer et les enseigner ?

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Auteur du sujet

Coucou, j'ai écrit un très court article qui devrait servir de point de départ pour un débat en didactique des mathématiques. J'aimerais bien votre avis sur :

  • la forme (article ou non ?) et l'intérêt d'un tel contenu ;
  • la structuration ;
  • la nécessité de rentrer plus ou moins dans les détails ;
  • le fond.

Pas besoin tout de suite de remarque sur l'orthographe ou le manque d'illustration, cela viendra plus tard.

Merci !

Édité par Holosmos

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Salut,

J'ai l'impression que ton article est un peu à mi-chemin entre l'article (pour la première partie) et la tribune libre (pour la deuxième). Si tu as des sources et tout, je pense que ça peut faire un bon article, un genre de synthèse sur l'état de l'art sur ce point didactique. Avec plus d'étaiement (sources, résultats d'expérimentations pédagogique, etc.), ce texte est tout à fait intéressant pour qui veut enseigner les mathématiques, typiquement les auteurs sur ce site, j'imagine.

Dans le cadre d'un stage de recherche en didactique en mathématiques, je vais tenter d'exposer quelques raisons d'être des définitions, pourquoi elles sont présentées de telle manière et comment on pourrait les introduire avec plus de pédagogie.

Cette phrase est totalement bancale. Ton "stage de recherche en didactique" tombe de nulle part pour le lecteur. C'est quelque chose que tu as fait récemment ? Tu as acquis ce que tu présentes pendant cette période ?

Nous allons utiliser la caractérisation suivante

Au vu de ce qu'il vient après (les conditions supplémentaires), dire "c'est une proposition blabla" n'est pas encore à ce point une caractérisation. Je me trompe ?

  • elle doit être cohérente.

[…] Le second exprime le fait que l'on peut supposer qu'un objet existe et vérifie la définition donnée, par exemple « être un réel nul et non nul » n'est pas une définition puisqu'aucun réel ne vérifie cette proposition.

J'ai du mal à faire le lien entre les deux idées cohérence/existence d'un objet vérifiant la définition. Est-ce que ton explication est équivalente à "il faut prouver que l'ensemble des objets définis est non vide" ou autrement dit "une définition doit définir quelque chose qui existe effectivement " ? Et pourquoi on parle alors de cohérence ? Je croyais que c'était quelque chose lié à l'absence de contradictions.

Je n'ai pas grand chose à redire sur les formulations de la deuxième partie.

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Auteur du sujet

J'ai du mal à faire le lien entre les deux idées cohérence/existence d'un objet vérifiant la définition.

De mémoire c'est un résultat de logique : une théorie est cohérente si, et seulement si, elle admet un modèle.

Cette phrase est totalement bancale. Ton "stage de recherche en didactique" tombe de nulle part pour le lecteur. C'est quelque chose que tu as fait récemment ? Tu as acquis ce que tu présentes pendant cette période ?

Oui cette phrase est inutile en plus.

Édité par Holosmos

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J'ai du mal à faire le lien entre les deux idées cohérence/existence d'un objet vérifiant la définition.

De mémoire c'est un résultat de logique : une théorie est cohérente si, et seulement si, elle admet un modèle.

Holosmos

OK, je comprends mieux. C'est pas évident pour ceux qui ne sont pas familier avec la logique (comme moi). Si tu as une formulation avec moins de prérequis, ce serait probablement plus clair, car le reste de l'article est vraiment accessible à tous ceux ayant fait un peu de maths (disons L1).

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Tiens un article intéressant. Je ne peux pas m'empêcher d'émettre quelques critiques cependant.

On demande également à ce qu'une définition vérifie les propriétés suivantes :

elle doit introduire des concepts nouveaux par rapport à ceux connus (c'est-à-dire que l'on définit un objet par des objets plus simples) ; elle doit être cohérente. Le premier point exprime le fait qu'on se refuse à définir un objet par lui-même, en d'autres termes vous ne pouvez pas définir AA par BB puis BB par AA. Le second exprime le fait que l'on peut supposer qu'un objet existe et vérifie la définition donnée, par exemple « être un réel nul et non nul » n'est pas une définition puisqu'aucun réel ne vérifie cette proposition.

Quand est-il des définitions récursives ? Typiquement les entiers naturels ? Tu définis un entier en fonction d'un autre entier, certes plus petit pour que ce soit bien fondé, mais quand même. Je pense que tu devrais au moins ajouter une note à ce propos.

D'ailleurs, est-ce que cela rejoint les notions d'être prédicatif/imprédicatif ?

(vérifier si un objet vérifie une proposition se fait machinalement)

C'est faux dans le cas général : décider si un programme va s'arrêter ou pas.

De telle sorte qu'une définition se suit généralement d'exemples et de contre-exemples. Pour rappel, un contre-exemple ne dit pas qu'une propriété est fausse mais que si on modifie les hypothèse, la propriété devient alors fausse. Dans le cas d'une définition, cela revient à donner un objet qui ne correspond pas à la caractérisation donnée.

Dire qu'une définitions peut avoir des contre-exemples c'est bizarre je trouve. Autant on parle de contre-exemple pour un théorème (qui est alors plutôt une conjecture), mais quand on pose une définition on ne peut pas trouver de contre-exemple puisque c'est une définition.

D'ailleurs je ne comprend pas du tout la deuxième phrase de ce paragraphe. Je pense que tu devrais le revoir car l'idée que tu cherches à formuler n'est pas clair à mon avis.

Enfin, ton article ne comporte aucune source. Tu tires ça de ton chapeau ? Tu ne t'es pas inspiré de quelques articles pour pondre ça ? De plus à la fin tu proposes des pistes d'ouvertures sans aller plus loin. Ca serait intéressant d'avoir des liens pour donner la possibilité au lecteur de continuer sa réflexion, non ?

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Auteur du sujet

Quand est-il des définitions récursives ? Typiquement les entiers naturels ? Tu définis un entier en fonction d'un autre entier, certes plus petit pour que ce soit bien fondé, mais quand même. Je pense que tu devrais au moins ajouter une note à ce propos.

J'ajouterai une note mais je ne vois pas bien ce que tu essayes de nuancer. Tu peux préciser ?

C'est faux dans le cas général : décider si un programme va s'arrêter ou pas.

Je savais en l'écrivant qu'il y aurait une réaction de calculabilité. Par machinalement, je pensais au fait que ça ne paraît pas être une activité donnant de nouvelles informations sur un problème ou une conception. C'est une *vérification.

Dire qu'une définitions peut avoir des contre-exemples c'est bizarre je trouve. Autant on parle de contre-exemple pour un théorème (qui est alors plutôt une conjecture), mais quand on pose une définition on ne peut pas trouver de contre-exemple puisque c'est une définition.

Donner des objets qui ne marchent pas parce qu'une condition n'est pas bien vérifié me paraît pourtant intéressant.

Enfin, ton article ne comporte aucune source. Tu tires ça de ton chapeau ? Tu ne t'es pas inspiré de quelques articles pour pondre ça ? De plus à la fin tu proposes des pistes d'ouvertures sans aller plus loin. Ca serait intéressant d'avoir des liens pour donner la possibilité au lecteur de continuer sa réflexion, non ?

Ça va venir, je réunis la biblio progressivement.

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Quand est-il des définitions récursives ? Typiquement les entiers naturels ? Tu définis un entier en fonction d'un autre entier, certes plus petit pour que ce soit bien fondé, mais quand même. Je pense que tu devrais au moins ajouter une note à ce propos.

J'ajouterai une note mais je ne vois pas bien ce que tu essayes de nuancer. Tu peux préciser ?

Comment tu définis un entier naturel ? Tu dis que c'est 0 ou sinon le successeur d'un autre entier naturel. Donc tu définis un entier naturel en fonction d'un autre entier naturel… C'est l'axiome 2 de Peano : https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano (en gros).

C'est faux dans le cas général : décider si un programme va s'arrêter ou pas.

Je savais en l'écrivant qu'il y aurait une réaction de calculabilité. Par machinalement, je pensais au fait que ça ne paraît pas être une activité donnant de nouvelles informations sur un problème ou une conception. C'est une *vérification.

Sans même parler de calculabilité ce n'est pas clair que ça se fait machinalement, tout dépend de ta proposition.

Dire qu'une définitions peut avoir des contre-exemples c'est bizarre je trouve. Autant on parle de contre-exemple pour un théorème (qui est alors plutôt une conjecture), mais quand on pose une définition on ne peut pas trouver de contre-exemple puisque c'est une définition.

Donner des objets qui ne marchent pas parce qu'une condition n'est pas bien vérifié me paraît pourtant intéressant.

Je ne dis pas le contraire. Mais les appeler contre-exemples c'est pas très judicieux. Car ce ne sont pas des contre-exemples mais plus des contre-définitions.

Enfin, ton article ne comporte aucune source. Tu tires ça de ton chapeau ? Tu ne t'es pas inspiré de quelques articles pour pondre ça ? De plus à la fin tu proposes des pistes d'ouvertures sans aller plus loin. Ca serait intéressant d'avoir des liens pour donner la possibilité au lecteur de continuer sa réflexion, non ?

Ça va venir, je réunis la biblio progressivement.

Holosmos

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Auteur du sujet

Comment tu définis un entier naturel ? Tu dis que c'est 0 ou sinon le successeur d'un autre entier naturel. Donc tu définis un entier naturel en fonction d'un autre entier naturel… C'est l'axiome 2 de Peano : https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano (en gros).

Mais ça ne contredit pas ma condition, si ? Là on définit pas 5 comme étant 5 mais comme étant le successeur de 4.

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Comment tu définis un entier naturel ? Tu dis que c'est 0 ou sinon le successeur d'un autre entier naturel. Donc tu définis un entier naturel en fonction d'un autre entier naturel… C'est l'axiome 2 de Peano : https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano (en gros).

Mais ça ne contredit pas ma condition, si ? Là on définit pas 5 comme étant 5 mais comme étant le successeur de 4.

Holosmos

Instancie ta définition avec objet := entier naturel.

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Auteur du sujet

Il n'empêche qu'une définition par induction s'appuie sur des objets précédemment connus pour en faire de nouveaux. Non je vois toujours pas le souci.

Un entier naturel n'est pas défini comme étant un entier naturel (point à la ligne). Il est comme étant le successeur d'un autre entier ou comme étant 0. Y a quand même quelque chose de plus.

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Laisse tomber j'ai bogué =) . Je pensais en terme de type et pas en terme de terme justement. J'ai trop fait de types dépendants…

Edit : remarque ta définition ne marche pas dans le cas d'objets définitions par co-induction (genre les streams).

Édité par Saroupille

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Auteur du sujet

Bonjour les agrumes !

La bêta a été mise à jour et décante sa pulpe à l'adresse suivante :

Merci d'avance pour vos commentaires.


J'ai ajouté quelques références, d'autres devraient arriver. J'ai aussi corrigé ce que vous avez relevé (j'ai oublié quelque chose ?).

Donc j'attends vos remarques en tout genre maintenant :-).

Édité par Holosmos

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