Preuve de card(A×A) = card(A)

Pour les ensembles infinis

L'auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Staff
Auteur du sujet

Salut tout le monde !

Tout est dans le titre, je cherche une preuve simple de la formule $\left\vert{A\times A}\right\vert = \left\vert{A}\right\vert$ pour les ensembles infinis.

J'ai mené plusieurs recherches, mais je n'en ai trouvé aucune qui soit clair et simple. Celle sur Wikipédia fait usage et des ordinaux et je ne l'ai pas comprise.

J'ai vu une démonstration assez élégante pour le cas particulier $A=\mathbb{R}$ qui consiste à "entrelacer" les décimales de chaque réel du doublet pour former un unique réel, mais cela manque de généralité.

Aussi, j'ai une dernière question : qu'est-ce qui nous permet de construire $\aleph_0$, $\aleph_1$, $\aleph_2$… qu'il puisse exister un bon ordre sur les cardinaux, je veux bien l'admettre (modulo l'axiome du choix), mais qu'est-ce qui nous autorise à affirmer qu'on puisse associer à $\aleph_n$ le cardinal $\aleph_{n+1}$ qui est sensé lui être immédiatement "supérieur". Pourquoi la situation ne pourrait-elle pas être analogue à celle pour les réels (ou même les rationnels), c'est à dire qu'entre deux cardinaux distinct il puisse y avoir une infinité d'autres cardinaux non équipotent distinct, ce qui interdirait d'associer un successeur à chaque cardinal.

Dernière question : quel sens cela a-t-il lorsqu'on indice des cardinaux par des ordinaux, genre $\aleph_{\omega}$ ?

Merci à vous !

Édité par Algue-Rythme

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Staff
Auteur du sujet

Merci pour ta réponse !

J'avais en effet déjà vu cette vidéo, qui traite le cas dénombrable $A=\mathbb{N}$. J'attendais quelque chose de plus général !

Édité par Algue-Rythme

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Staff
Auteur du sujet

Le cas avec les indénombrables est $\mathbb{R}$ mais il existe bien d'autres ensembles indénombrables, bien plus grand… et l'astuce des décimales ne fonctionne plus.

EDIT: il suffit de prendre $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ qui est plus grand que $\mathbb{R}$.

Édité par Algue-Rythme

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