Bloqué sur un exercice d'intégrale

L'auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Bonsoir,
Je suis bloqué sur un exercice d'intégrale et ça m'énerve. :-°
On me propose une fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$ f_{n}(x) = \frac{4e^{x}}{e^{x}+7} $$

On m'a demandé diverses opérations avant et je bloque sur cette question :

Donner une interprétation graphique de $\int_{0}^{\frac{\ln7}{n}}f_{n}(x)\mathrm{d}x$

Sachant que j'ai trouvé que $\frac{\ln7}{n}$ était enfaite le point d'intersection de $f_n$ et de $y = 2$.
Merci de votre aide!

Édité par Wizix

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

+0 -0

Coucou,

C'est un problème basique de ce que représente une intégrale. Une intégrale entre deux bornes a et b, comment ça t'a été définie (pour une fonction positive) ? Indice : on laisse momentanément de côté les notions de primitive.

Ich bin très occupé cette année. Ne vous étonnez pas si je réponds par intermittence.

+2 -0
Auteur du sujet

Oups désolé j'ai pris $f_{1}(x)$ !
Du coup, on a :

$$f_{n}(x) = \frac{4e^{nx}}{e^{nx}+7}$$

Coucou,

C'est un problème basique de ce que représente une intégrale. Une intégrale entre deux bornes a et b, comment ça t'a été définie (pour une fonction positive) ? Indice : on laisse momentanément de côté les notions de primitive.

Goeland-croquant

Bah justement, j'ai bien remarqué que l'on réduisait la borne supérieur. Donc logiquement l'aire devrait diminuer, mais j'ai l'impression que ce n'est pas ce qui est demandé…

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

+0 -0

Donc logiquement l'aire devrait diminuer, mais j'ai l'impression que ce n'est pas ce qui est demandé…

Oui mais tu mélanges tout. Quand tu dis que l'aire devrait diminuer, tu parles de la suite des $A_n$ aires des courbes. Ça ne répond pas à la question : cette aire (au rang n) c'est laquelle exactement ?

Ich bin très occupé cette année. Ne vous étonnez pas si je réponds par intermittence.

+0 -0

D'accord, on avance, mais plus précisément encore ? Tu donnes les bornes sur les côtés gauche et droit, mais en haut et en bas, il manque encore quelques précisions :) .

Ich bin très occupé cette année. Ne vous étonnez pas si je réponds par intermittence.

+0 -0
Auteur du sujet

Mmmmh je vois pas trop où tu veux en venir.. :-° Du coup la borne du haut correspond à la limite de la fonction en l'infini (positif) soit 4 et celle du bas est l'axe des abscisse, $y = 0$.

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

+0 -0

Mea culpa j'ai utilisé le mot bornes qui peut être ambigu, il fallait lire ce qui délimite l'aire dont tu parles à gauche, à droite, mais ce qui la délimite "en haut et en bas" pour terminer de décrire précisément l'aire et répondre pleinement à la question.

Ich bin très occupé cette année. Ne vous étonnez pas si je réponds par intermittence.

+0 -0
Auteur du sujet

@Wizix : as-tu fais un petit dessin pour voir ce qui se passe ? Pas besoin d'être précis, mais ça pourrait t'aider.

Saroupille

Oui il y a un dessin dans le livre, je l'ai refais sur Geogebra.

Je vois pas trop, l'aire d'une fonction et définie en haut et en bas par la représentation graphique de $f(x)$ soit $Cf$ et par l'axe des abscisses, $y=0$.

Je sais que l'aire sera constante (on me demande de le prouver dans la question suivante), seulement, visuellement, ça ne se voit pas du tout…

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

+0 -0

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Oui c'est ça, l'intégrale représente l'aire entre Cf et l'axe des abscisses entre les points a et b (mais aire algébrique, donc pour éviter les problèmes il vaut mieux que la fonction soit positive). Tu as défini ce que représente cette intégrale, une aire, point. Il faut juste être complet pour définir précisment le tout :) . Rien de compliqué mais juste à être complet.

Pour montrer que l'aire est constante, il suffirait normalement de calculer la valeur de l'intégrale à un rang n; cela dit quand je le fais je trouve un résultat qui dépend de n. Tu es sûr de l'expression des $f_n$ ?

Ich bin très occupé cette année. Ne vous étonnez pas si je réponds par intermittence.

+0 -0
Auteur du sujet

Ah heu d'accord, je pensais qu'il fallait trouver une particularité. Je m'attendais un truc beaucoup plus compliqué que ça ! :D

Pour montrer que l'aire est constante, il suffirait normalement de calculer la valeur de l'intégrale à un rang n; cela dit quand je le fais je trouve un résultat qui dépend de n. Tu es sûr de l'expression des $f_n$ ?

Goeland-croquant

Tu me devances là ! Justement j'allais vous poser la question, j'ai moi-même essayé (en calculant $u_{n+1}$). Voici ce qu'on me donne (ils rajoutent des informations) :

$$ u_{n} = \frac{n}{ln7}\int_{0}^{\frac{ln7}{n}}f_{n}(x)\mathrm{d}x $$
Ce qui me fait :
$$ u_{n+1} = \frac{n+1}{ln7}\int_{0}^{\frac{ln7}{n+1}}f_{n+1}(x)\mathrm{d}x \\ u_{n+1} = \frac{(n+1)(ln(e^{(n+1)\frac{ln7}{n+1}}+7)-4ln8)}{ln7} $$
Du coup… Bah c'est pas trop constant quoi ! :-°

Merci de ton aide!

Édité par Wizix

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

+0 -0

Ah dans ce cas ça prend plus de sens ; mais par contre pourquoi chercher à calculer au rang n + 1 (ce qui exclue 0) ? Ça ne sert à rien et ça fait faire des trucs inutiles. Enfin, et surtout, tu fais des erreurs quand tu intègres ; visiblement tu as remarqué qu'il s'agissait de $u' \over u $ mais attention, ce n'est pas tout à fait le cas. Il manque un petit truc pour avoir vraiment cette forme. Revois tes calculs.

Ich bin très occupé cette année. Ne vous étonnez pas si je réponds par intermittence.

+0 -0
Auteur du sujet

Si je trouve que $u_{n+1} = u_{n}$ alors la suite est constante non ? Je pourrais aussi faire $ u_{n+1} - u_{n} = 0$ mais je ne suis pas sur que ce soit la méthode la plus rapide..

Je continuerais les calculs ce soir, j'ai un film à tourner pour l'anglais là ! :D

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

+0 -0
Vous devez être connecté pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore inscrit ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte