Courbes de niveau

L'auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Bonjour à tous,

Je n'ai pas trop compris le concept de courbes de niveau. Si j'ai bien compris c'est une projection d'une courbe à plusieurs variables dans le plan. Cependant, je ne vois pas comment les courbes de niveaux permettent d'esquisser le graphe de la fonction au final. Prenons un exemple: Tracer les courbes de niveau et esquisser le graphe de la fonction à deux variables $f(x;y) = \left| {2x - y + 1} \right|$ . Le domaine est $D(f) = {R^2}$

Pour $c$ entier naturel on a:

$\left| {2x - y + 1} \right| = c \Leftrightarrow 2x - y + 1 = c \Leftrightarrow y = 2x + 1 - c$

Pour $c$ entier négatif on a:

$\left| {2x - y + 1} \right| = c \Leftrightarrow - 2x + y - 1 = c \Leftrightarrow y = 2x + 1 + c$

Et on choisi quelques courbes (qui sont des droites affines ici).

Par contre, je ne vois pas du tout comment je peux me faire une idée du graphe (en 3D donc) avec ces courbes de niveau.

Merci d'avance! :)

Édité par ZDS_M

+0 -0

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Bonjour,

On est bien d'accord qu'une ligne de niveau est l'ensemble $\left\{\left.\left(x,y\right)\right| f\left(x,y\right)=c\right\}$ ? Dans ce cas je ne vois pas trop pourquoi tu as des lignes de niveau pour $c$ strictement négatif (ta fonction n'est jamais strictement négative).

Pour répondre à ta question, je ne sais pas si c'est une fonction très pertinente où tracer des lignes de niveau. AMHA, c'est bien plus pertinent quand celles-ci se referment, dans ce cas plus l'aire à l'intérieur d'une courbe est faible, plus tu es proche d'un extremum.

Dans le cas générale ça te donne quand même une idée sur les variations de ta fonction : le long d'une ligne de niveau celle-ci est nulle.

Édité par Freedom

Auteur du sujet

Oui, on est d'accord sur la définition. Dois-je donc déterminer le domaine image ? Ici ça serait ${\mathop{\rm Im}\nolimits} (f) = \left[ {1; + \infty } \right[$

Et donc je ne peux déterminer les courbes de niveau que pour $c \ge 1$ (pour tous les autres valeurs de $c$ on a $L(c) = \emptyset $ )

Ceci dit, j'ai toujours pas compris en quoi elles donnent une information sur les extremums (on les a pas encore vu en cours mais bon) et comment dessiner la courbe ?

+0 -0

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Coucou,

Je voulais juste te signaler que tu t'es gouré dans tes équivalences : $\left| {2x - y + 1} \right| = c \Leftrightarrow 2x - y + 1 = c$ si $2x - y + 1 \geq 0$, sinon on a $2x - y + 1 = -c$.

+0 -0
Staff

Tu vois que les sommets sont là où les lignes de niveau sont le plus serrées.

Pas vraiment… Les endroits où les lignes de niveaux sont les plus serrées sont les zones les plus pentues (ce qui est assez évident à comprendre). Les extrema (locaux) sont vers les endroits où les courbes de niveaux présentent les valeurs extrêmes (ont des valeurs qui augmentent puis diminuent autour du point considéré).

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

+0 -0

Tu vois que les sommets sont là où les lignes de niveau sont le plus serrées.

Pas vraiment… Les endroits où les lignes de niveaux sont les plus serrées sont les zones les plus pentues (ce qui est assez évident à comprendre). Les extrema (locaux) sont vers les endroits où les courbes de niveaux présentent les valeurs extrêmes (ont des valeurs qui augmentent puis diminuent autour du point considéré).

adri1

Serrées sur elles-même, i.e. là où l'aire à l'intérieur d'une courbe est la plus faible.

Édité par Freedom

Staff

Serrées sur elles-même, i.e. là où l'aire à l'intérieur d'une coubre est la plus faible.

Ce qui est juste faux. Avec cette définition, tu auras les fonds des creux et les sommets des bosses, mais tu n'auras pas les vallées et les crêtes.

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

+0 -0
Staff

Imagine un volcan. Les courbes de niveaux avec les plus petites aires sont au centre du cratère, pas aux sommet comme tu le disais plus haut…

Par contre, extremum local, je suis d'accord. Mais ça n'a plus grand chose à voir avec la notion de sommet.

Édité par adri1

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

+0 -0

Premier message :

dans ce cas plus l'aire à l'intérieur d'une courbe est faible, plus tu es proche d'un extremum.

(j'ai oublié de préciser local d'ailleurs)

Donc oui pour le volcan c'est pas un sommet, ça reste un extremum. J'ai utilisé sommet dans le second message car l'image montre une montagne avec deux sommets.

Édité par Freedom

Pour faire simple si ça permet de voir clair :

Tu trace une ligne verticale. Tout les 5m, tu trace un trait. Si deux courbes sont rapprochés, c'est que la pente est raide.

En gros, tu découpe en tranche ton relief.

Je comprends rien à tes formules mathématiques, mais j'expliquerais comme ça.

écolo-utopiste altermondialiste radicalisé sur Internet | La tero estas nur unu lando. PA SHS La géo c’est cool, la carto aussi !

+1 -0
Vous devez être connecté pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore inscrit ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte