Équation avec des valeurs absolues

L'auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Bonjour, j'ai un problème de calcul assez stupide lorsque j'essaye de résoudre une équation avec des valeurs absolues.

Imaginons que j'ai une équation $|5 - x| = |x + 1| \leftrightarrow |5 - x| - |x + 1| = 0$. Je construit un tableau de signe qui exprime chaque terme de l'équation sans les valeurs absolues, en fonction du signe de notre variable x. Une fois arrivé à la colonne qui correspond à l'équation $|5 - x| - |x + 1| = 0$, comment s'y prendre pour calculer celle-ci?

En effet, si je fait $(5-x) - (-x+1)$, on a : $5-x+x-1$, alors les x s'annulent?!

Je m'arrache les cheveux, c'est pourtant un truc très évident et très simple j'imagine, c'est dommage d'être aussi stupide… :-(

Éternel curieux

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Staff

Il faudrait que tu procèdes autrement. Tu as $|f(x)|=|g(x)|$ si, et seulement si,

  • ou bien $f(x)=|g(x)|$ pour $f(x)$ positif ;
  • ou bien $-f(x)=|g(x)|$ pour $f(x)$ négatif.

Maintenant, si je prends le premier cas (je te laisse inspecter le second), on a $|g(x)| = f(x)$ si, et seulement si, $|g(x)| - f(x) = 0$, si et seulement si,

  • ou bien $g(x)-f(x)= 0$ pour $g(x)$ positif ;
  • ou bien $-g(x)-f(x)=0$ pour $g(x)$ négatif.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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En effet, si je fait $(5-x) - (-x+1)$, on a : $5-x+x-1$, alors les x s'annulent?!

Ozmox

Oui ils s'annulent, du coup il n'y a pas de réponse dans cet intervalle.

Normalement avec ton tableau de signe, tu devrais voir un intervalle dans lequel il doit y avoir une solution. Voilà comment j'aurais fait :

  • De $-\infty$ à $-1$ :
    $(5−x)-(-1)(x+1)=0$, donc $6=0$.
    Pas de solution dans cet intervalle.

  • De $-1$ à $5$ :
    $(5−x)-(x+1)=0$, donc $-2x+4=0$.
    Une solution dans cet intervalle : $x = 2$.

  • De $5$ à $+\infty$ :
    $(-1)(5−x)-(x+1)=0$, donc $-6=0$.
    Pas de solution dans cet intervalle.

Et le graphique de la fonction, ça peut toujours aider.

Édité par Olybri

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