Intégrale double

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Bonjour, Je dois calculer l'intégrale suivante $\int\limits_0^4 {(\int\limits_{\sqrt y }^2 {\sqrt {1 + {x^3}} dx)dy} } $

Je pense que la façon la plus simple est clairement d'inverser l'ordre d'intégration. Pour cela, je dois changer les bornes et c'est parfois délicat - du moins, j'ai assez souvent du mal. Ici, voici ce que j'aurais fais: On fixe $x$ : $x$ varie entre 0 et 2. => $y$ varie entre 0 et ${x^2}$ -> C'est surtout ici que j'ai un doute ! Je ne suis pas trop sûr. Si mes bornes sont correctes, c'est simple:

$\int\limits_0^2 {(\int\limits_0^{{x^2}} {\sqrt {1 + {x^3}} dx)dy} } = \int\limits_0^2 {{x^2}\sqrt {1 + {x^3}} } = \left[ {\frac{2}{9}\sqrt {1 + {x^3}} } \right]_0^2 = 2(\sqrt 9 - \frac{1}{9})$

Ma question est surtout la suivante: comment éviter de se tromper pour trouver les bornes et y a-t-il des méthodes relativement simples ? Pour l'instant, j'essaye de le faire graphiquement mais je me dis que dès qu'on passe aux intégrales triples c'est quasi impossible à visualiser…

Merci!

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Staff

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Bon, pour s'y retrouver, j'ai tendance à passer par des fonctions caractéristiques.

$$ \int_0^4\int_{\sqrt y}^2 \sqrt{1+x^3}dxdy = \int\int 1_{y\in [0,4]} 1_{x\in [\sqrt{y},2]} \sqrt{1+x^3}dxdy$$

Maintenant tu remarques que $x\in [\sqrt y,2]$ si, et seulement si, $y\leq x^2 \leq 4$ (puisque $y$ est positif donc $x$ aussi) et donc si, et seulement si, $y\leq x^2$ et $x^2\leq 4$. Finalement

$$ 1_{x\in [\sqrt y,2]} = 1_{y\leq x^2}1_{x\in [0,2]} $$

et ça devrait te permettre de faire l'interversion.

$$ 1_{y\in [0,4]} 1_{y\leq x^2}1_{x\in [0,2]} = 1_{x\in [0,2]}1_{y\in [0,x^2]} $$

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Merci beaucoup. J'aime bien la manière dont tu le fais, c'est beaucoup plus clair. Ca sera une méthode efficace pour les intégrales triples je pense. Si je comprends bien, mon changement de "bornes" est correct comme je l'ai fais ci-dessus non?

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