Composition de DL

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Bonjour, j'ai un petit soucis de compréhension au niveau de la compostions des DLs.

J'ai deux fonctions :

$$ f_1(x) = \sqrt{1 + sin(x)} $$
$$ f_2(x) = e^{cos(x)} $$

Pour la première fonction, en exercice, nous avons calculer le DL de $ (1 + u)^{1/2} $ puis le DL de $sin(x)$, puis dans nous avons remplacé le $u$ du DL de $ (1 + u)^{1/2} $ par $sin(x)$

Pour la deuxième fonction par contre on nous a indiqué qu'on avait pas le droit de calculer le DL de $e^u$ puis de remplacer $u$ par le DL de $cos(x)$

Merci de m'éclairer ;)

Édité par anonyme

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Salut,

Le problème est que $\cos(0) = 1$. Tu peux par exemple faire le DL en 0 de $x \mapsto e^{\sin(x)}$ en composant les DLS en 0 car $\sin(0) = 0$, mais pas celui de $x \mapsto e^{\cos(x)}$. Voici la proposition.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions tels que $P_n$ et $Q_n$ sont leurs DLs respectifs d'ordre $n$ au voisinage de 0. Si $f(0) = 0$, la fonction $g \circ f$ admet le même développement limité d'ordre $n$ en 0 que le polynôme $ Q_n \circ P_n$.

EDIT : et pour faire ton DL :

$$ \DeclareMathOperator{\exp}{exp} \begin{align} \exp(\cos(x)) &= \exp(1 - \frac{x^2}{2})\\ &= e \times \exp(-\frac{x^2}{2}). \end{align} $$

Et tu peux faire le DL en 0 de $\exp(-\frac{x^2}{2})$ en composant les deux DLs en 0.

Édité par Karnaj

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Auteur du sujet

D'accord merci donc pour le premier DL, la démarche juste (pour $f_1(x)$ ) est :

Soit $f_1(x) = \sqrt{1 + sin(x)}$

$DL_3$ de $sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) $

Donc : $ f_1(x) = \sqrt{1 + x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)} $

et, $DL_3$ de $\sqrt{1 + u} = (1 + u)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 + \frac{1}{16}u^3 + o(u^3) $

Donc

$$ \sqrt{1 + sin(x)} = 1 + \frac{1}{2}(x - \frac{x^3}{6}) - \frac{1}{8}(x - \frac{x^3}{6})^2 + \frac{1}{16}(x - \frac{x^3}{6} )^3 + o(x^3) $$

$$ \sqrt{1 + sin(x)} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{48} + o(x^3) $$

Mais par contre c'est incorrect de faire (ce que j'ai écrit dans mon cahier) :

$$ f_1(x) = \sqrt{1 + sin(x)} = \sqrt{1 + u} $$
avec $u = sin(x)$ $DL_3$ de $\sqrt{1 + u}$ :
$$ \sqrt{1 + u} = (1 + u)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 + \frac{1}{16}u^3 + o(u^3) $$
$DL_3$ de $sin(x)$ :

$$sin(x) = 1 - \frac{x^3}{6} + o(x^3) $$
Donc
$$ \sqrt{1 + u} = \sqrt{1 + sin(x)} = 1 + \frac{1}{2}(1 - \frac{x^3}{6} + o(x^3)) - \frac{1}{8}(1 - \frac{x^3}{6} + o(x^3))^2 + \frac{1}{16}(1 - \frac{x^3}{6} + o(x^3))^3 + o(u^3) $$
$$ \sqrt{1 + sin(x)} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{48} + o(x^3) $$

EDIT : Correction après le message Karnaj ci dessous

Édité par anonyme

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Je ne comprends pas totalement ton message où les $\cos$ et les $\sin$ sont mélangés. Tu as un problème à ton DL de $\sin x$, c’est $x - \frac{x^3}{6}$, pas $1 - \frac{x^3}{6}$.

Pour avoir le DL de $\sqrt{1 + \sin(x)}$ en 0, tu peux faire le DL $P_n$ de $\sin(x)$ en 0, puis faire le DL de $\sqrt{1 + P_n}$ en 0 car $P_n(0) = 0$. Mais tu ne peux pas faire celui de $\sqrt{1 + \cos(x)}$ en 0 de cette manière car $cos(0) \neq 0$. Regardes :

$$ \sqrt{1 + \cos(x)} = \sqrt{1 + 1 - \frac{x^2}{2}}. $$

On pose alors $u(x) = 1 - \frac{x^2}{2}$. Le problème est que $u(x) \underset{x \to 0}{\to} 1$, or le DL de $\sqrt{1 + u(x)}$ que tu utilises ne fonctionne que si $u \underset{x \to 0}{\to} 1$.

Pour ne pas avoir de problème, je te conseille de faire d’abord le DL de la fonction intérieure et ensuite de voir si tu peux faire ta composition. Par exemple, j’écrirais ça, moi.

$$ \sqrt{1 + \cos(x)} = \sqrt{1 + 1 - \frac{x^2}{2}}. $$

Je vois que $1 - \frac{x^2}{2}$ ne vaut pas 0 en 0, je ne peux pas prendre le DL de la racine carrée. Par contre,

$$ \sqrt{\cos(x)} = \sqrt{1 - \frac{x^2}{2}}. $$

Avec $-\frac{x^2}{2}$ qui vaut 0 en 0, donc,

$$ \sqrt{\cos(x)} = 1 - \frac{x^2}{4}. $$

Édité par Karnaj

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Auteur du sujet

Oui désolé je me suis mélanger entre les $sin$ et les $cos$. J'ai corrigé.

D'accord, donc si j'ai bien compris ton message, mon DL de $\sqrt{1 + sin(x)}$ est vrai car

$$ x - \frac{x^2}{6} \underset{x \to 0}{\to} 0 $$

Édité par anonyme

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