Somme de deux sous espaces vectoriels

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Auteur du sujet

Bonjour,

J'ai un petit soucis pour déterminer si la somme de sous espace vectoriel est directe ou non.

Voici mes deux s.e.v :

$$ E = \{(it, it, t) | t \in C\} $$

$$ F = \{(x,y,z) | x-2y + iz = 0\} $$

Déjà j'ai exprimer la somme $F + E$

$$ F + E = vect((i,i,1),(2,1,0),(-i,0,1)) $$

J'ai vérifié que c'était une base de $ C^{3} $, donc $E + F = C^{3} $

Ensuite pour vérifier que $ E \cap F = \{0\} $ j'ai un petit soucis

J'ai fait :

Soit $u = (x,y,z) \in E \cap F $

$u \in E $ implique qu'il existe un $t$ tq $u = (it,it,t)$

$u \in F$ implique que $x - 2y + iz = 0$ donc $it - 2it + it = 0$ donc ??? 0=0

Je ne sais pas comment conclure à ça. Ai-je la bonne démarche ?

Édité par firm1

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Salut, tu sembles avoir confondu $\mathbb R$ et $\mathbb C$. Je n'ai jamais croisé $i$ dans $\mathbb R$ :p .

Pour montrer que $E \cap F = \{0\}$, tu peux t'aider des dimensions de $E$ et $F$, et utiliser que $\dim E + F = 3$. Si tu veux encore plus d'aide : un petit lien.

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Auteur du sujet

Oui j'ai corrigé, merci ;)

Ah ouais pas bête, du coup il suffit de dire

$ E = vect(i,i,1) $ comme $(i,i,1) \neq 0$ on a $dim(E) = 1$

$ F = vect((2,1,0),(-i,0,1)) $ comme $(2,1,0)$ et $(-i,0,1)$ ne sont pas colinéaire, $dim(F) = 2$

$E + F = vect((i,i,1),(2,1,0),(-i,0,1))$ La famillie $(i,i,0)$ $(2,1,0)$ $(-i,0,1)$ est libre dans $C^3$ donc $dim(E+F) = 3$

$dim(E \cap F) = dim(F) + dim(E) - dim(F+G) = 2 + 1 - 3 = 0$ Donc $E \cap F = \{0\}$

EDIT : Ah du coup $dim(E+F) < 3$, donc la somme n'est pas directe puisque $dim(E \cap F) > 0$

Édité par anonyme

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