Intégrale triple

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

J'essaye de calculer l'intégrale suivant mais je n'arrive pas au résultat:

$\int\limits_D {\frac{{dxdydz}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }}} $$D = \left\{ {\left. {(x,y,z) \in {R^3}:1 \le {x^2} + {y^2} + {z^2} \le 9,y \ge 0} \right\}} \right.$

J'ai essayé de faire ceci:

Changement en coordonées sphériques:

Le nouveau domaine d'intégration est D' : $R \in \left[ {1;3} \right]$ $\varphi \in \left[ {0;\pi } \right]$ et $\theta \in \left[ {0;\pi } \right]$

$\int\limits_{D'} {\frac{{dRd\varphi d\theta }}{{\sqrt {{R^2}({{\cos }^2}\varphi {{\sin }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta {{\sin }^2}\varphi + {{\cos }^2}\theta )} }}} = \int\limits_{D'} {\frac{{dRd\varphi d\theta }}{{\sqrt {{R^2}} }}} = \int\limits_{D'} {\frac{{dRd\varphi d\theta }}{R}} ,R > 0$ Avec ce calcul, on trouve que l'intégrale vaut ${\pi ^2}Log3$ ce qui faux (mais était bien sûr proposé dans les réponses possibles :p )

Je voulais savoir si mon changement de coordonnées était correct. J'ai encore un peu de mal à visualiser les coordonnées sphériques donc il est fort probable que je me suis trompé à ce niveau là!

Merci d'avance!

Édité par ZDS_M

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Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Il me semble que ton domaine est faux. Tu peux le justifier afin de voir si ça passe à la moulinette ?

Sinon le changement de variable est faux, il te manque le jacobien.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Merci… Effectivement ce Jacobien change tout ! Bon, mon domaine est quand même faux (On trouve $5 \pi$ avec l'intégrale ci-dessus or je dois tomber sur $5 \pi$ ) . Pour justifier mon choix: le rayon est compris entre 1 et 3, c'est assez trivial au vu que l'équation générale de la sphère. Pour l'angle $ \theta $ , l'angle dans le plan Oy-z, il défini donc la "hauteur" de ma sphère est pour la parcourir entièrement il me faut le faire varier entre $0$ et $\pi$. Quant à $\varphi$ c'est là que je doute.. Il représente l'angle dans le plan Ox-y et varie normalement (si on prend toute la sphère) entre $0$ et $2\pi$ . Ici je ne veux que la partie positive pour y ($ y \ge 0 $) et je me limite donc à $\varphi \in \left[ {0;\pi} \right]$ ce qui me donne la demi-boule ?

Édité par ZDS_M

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Auteur du sujet

En fait, j'ai dis une connerie.. Mon domaine était juste et on trouvait la bonne réponse, mon erreur ne venait "que" du Jacobien (j'ai mal intégré - les bornes étaient fausses)! :)

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