Limite à plusieurs variables

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour,

Je chercher à calculer $\mathop {\lim }\limits_{(x;y) \to (0;1)} \frac{y}{{{x^2}}}\exp ( - \frac{y}{{{x^2}}})$ Je voulais passer par les coordonnées polaires mais vu qu'on est pas centrés en (0;0) c'est pas la meilleure idée je pense. Intuitivement, on voit facilement que cette limite vaudra 0 (j'ai essayé 4 parcours - même si ça ne garantit pas son existence c'est déjà 4 chemins…). Le corrigé me suggère de majorer la fonction comme ceci:

$\forall (x;y) \in \mathbb R\backslash \{ 0\} \times \left[ {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right]:\left| {\frac{y}{{{x^2}}}\exp ( - \frac{y}{{{x^2}}})} \right| \le \frac{3}{{2{x^2}}}\exp ( - \frac{1}{{2{x^2}}}) < 12{x^2} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{(x;y) \to (0;1)} f(x;y) = 0$

Je comprends que ça fonctionne bien mais comment ont-il trouvé cette majoration..? Y a-t-il une autre manière?

Merci!

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Salut,

Tu peux aussi faire ceci. En posant $l = \frac{y}{x^2}$, on a

$$ \frac{y}{x^2}\exp\left(-\frac{y}{x^2}\right) = \frac{l}{\exp(l)}. $$

Avec $l$ qui tend vers $+\infty$ quand $(x,y)$ tend vers $(0, 1)$ , d’où on a bien

$$ \lim_{(x,y) \to (0, 1)} \frac{y}{x^2}\exp\left(-\frac{y}{x^2}\right) = 0. $$

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Banni

Pour montrer qu'une fonction de deux variables est continue, il suffit de (et il faut) montrer qu'elle est continue en chacune de ses variables. Donc ici, on complète la fonction par f(0,y) = 0 et on vérifie que c'est continu en y et en x.

Sinon, si on veut compléter juste en (0,1), on peut aussi choisir deux droites différentes qui passent par ce point (sur lesquelles la fonction est définie à son voisinage) et voir que les restrictions sur ces deux droites sont continues.

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