Intégrale multiple

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

Dans un ancien examen, on demande si l'affirmation suivante est vraie ou fausse:

$\int_D {\frac{{\tan y}}{{{x^2} + {y^2} + 1}}} dxdy > 1$$D = \left\{ {(x;y) \in {R^2}:\overline B (\overrightarrow {0;} 1),x \ge 0} \right\}$

Edit: Je ne vois pas pourquoi mon LaTex ne passe pas… Je l'écris pourtant comme d'habitude. Voici donc une image avec l'énoncé: http://cl.ly/1n1z1m1m003e

Quand j'ai vu ça, je me suis dis déjà qu'il fallait pas la calculer car elle ne semble pas évidente. Du coup, j'ai dis que l'affirmation était fausse car:

  • le dénominateur est >= 1;

  • la tangente est une fonction impaire;

  • la valeur maximale de y est 1, tg1 > 0

Avec ces raisons ceci me semble donc faux (et c'est correct) mais je voulais savoir si mes arguments sont suffisants / valables.

Merci :)

Édité par ZDS_M

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Je comprends pas la description du domaine. Tu peux préciser ?

Sinon, de ce que je comprends tu essayes d'appliquer une sorte de théorème de la moyenne. Est-ce que tu as une estimation de $\tan(1)$ ?

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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je pense que le domaine est $\{ (x,y) \in B(O;1) : x \geqslant 0 \}$.

dans ce cas, je ne vois pas très bien ce que tu voulais dire avec ton troisième point, mais (sauf erreur de ma part), avec ta remarque que $\tan$ est impaire, on peut même dire mieux !

écrire français sous Windows : fr-oss (azerty++) ou bépo (étudié pour le français) | <insérer un truc spirituel ici>

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Auteur du sujet

Je comprends pas la description du domaine. Tu peux préciser ?

Sinon, de ce que je comprends tu essayes d'appliquer une sorte de théorème de la moyenne. Est-ce que tu as une estimation de $\tan(1)$ ?

Holosmos

Il s'agit de la boule fermée: $D = \left\{ {(x,y) \in {R^2}:{x^2} + {y^2} \le 1,x \ge 0} \right\}$

dans ce cas, je ne vois pas très bien ce que tu voulais dire avec ton troisième point, mais (sauf erreur de ma part), avec ta remarque que $\tan$ est impaire, on peut même dire mieux !

Maëlan

Le fait que la fonction tangente est impaire, ceci signifie qu'elle est symétrique par rapport à l'origine. J'ai failli dire que cette intégrale était donc nulle mais j'en suis pas sûr [à calculer elle est légèrement moche].

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

si $D^\pm = D \cap \{ \pm y \geqslant 0 \}$ et que $f(x,y)$ est une fonction arbitrairement moche, impaire selon $y$, alors :

$$ \begin{aligned} \int_D f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y &= \int_{D^+} f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y + \int_{D^-} f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \\ &= \int_{D^+} f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y + \int_{D^+} f(x,-y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \qquad\text{par changement de variable} \\ &= \text{devine quoi} \end{aligned} $$

Édité par Maëlan

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