Systèmes et exponentielles

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Auteur du sujet

Bonjour,

J'essaye de résoudre un système avec des exponentielles par combinaisons linéaires mais je n'y parvient pas!

Voici le système en question, et mon raisonnement:

$ \left{\begin{aligned}

e{x-1} + ey &= 2 \ ex - e{y+1} &= 0

\end{aligned}\right $

On multiplie la première équation par $e^2$ et la seconde par $-e$.

$ \left{\begin{aligned}

e{x+1} + e{y+1} &= 2 \ -e{x+1} + e{y+2} &= 0

\end{aligned}\right $

En additionnant les deux équations, on obtient : $e^{y+1} + e^{y+2} = 2e^2 \Leftrightarrow e^y e + e^y e^2 = 2e^2$.

Et là, je bloque, je ne vois plus comment avancer… Un indice?

Merci (en attendant, je continue de chercher, hein).

PS : Comment utiliser le signe de l'équivalence (si et seulement si) avec un système et MathJax? Comment faire apparaître les facteurs à coté de chaque équation?

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Auteur du sujet

Euh, j'ai un bug avec mathjax, quelqu'un peut m'aider?

En fait, l'idée c'est qu'il ne faut pas utiliser $ln$ puisque l'exercice se situe dans le chapitre juste avant le logarithme népérien. Sinon trop facile. ;-)

Éternel curieux

+0 -0

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Euhhhhhhh

Dans ce cas, tu fais 2 changements de variables : X=exp(x) et Y=exp(y) , tu résous ton système, tu trouves X et Y, et là, tu conclues : il faudrait connaître la fonction réciproque de exp() pour en déduire x et y.

Sauf si par chance, X et Y tombent sur des valeurs particulières, qui permettraient de déduire x et y sans passer par la fonction ln. Je n'ai pas vérifié.

+1 -0
Staff

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Sur la forme, il faut mettre un point après le right, un \ avant le { du left (pour éviter qu'il ne soit interprété), ne pas sauter de ligne au milieu des formules et mettre deux \ pour sauter une ligne. Cite ce message pour voir le code juste. ;)

$$ \left\{\begin{aligned} e^{x-1} + e^y &= 2 \\ e^x - e^{y+1} &= 0 \end{aligned}\right. $$

$$ \left\{\begin{aligned} e^{x+1} + e^{y+1} &= 2 \\ -e^{x+1} + e^{y+2} &= 0 \end{aligned}\right. $$

Et $\Leftrightarrow$ : \Leftrightarrow.

Édité par Gabbro

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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Auteur du sujet

Merci pour le système Gabbro.

@elegance : Dans ce cas là, je dois résoudre Xe + Y = 2 et X - Ye = 0?

C'est pas un peu casse-gueule? Je vais essayer demain midi (j'aurais un petit break de 30min à ce moment). Merci pour vos conseils.

Normalement, les valeurs sont évidentes, pas besoin de passer par ln à moins que les créateurs de mon livre se soient gourés.

Édité par Ozmox

Éternel curieux

+0 -0
Staff

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La méthode de elegance est la bonne, c'est ce qu'il faut faire de manière général face à ce problème.

Et je peux confirmer que les valeurs sont évidentes, tu ne va pas tomber sur un logarithme dégueulasse. ;) Mais c'est « par chance », comme le dit elegance (ou plutôt parce que les créateurs de ton bouquin ont choisi les valeurs de tel sorte que).

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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Auteur du sujet

Je vois, par combinaisons linéaires ça semble fonctionner. :-)

Donc je pose bien $X = e^x$ et $Y = e^y$.

Je multiplie d'abord la première équation par $(-e)$ et l'autre par 1. En additionnant les deux équations on a $-2Ye = 2(-e) \Leftrightarrow Y = 1 \Leftrightarrow y = 0$ et par la suite, on reprend les deux équations d'origines, mais on multiplie cette fois-ci la première ligne par $e$, en additionnant les deux équations on trouve $2X = 2e \Leftrightarrow X = e \Leftrightarrow x = 1$.

Merci! :-D

Édité par Ozmox

Éternel curieux

+0 -0
Staff

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(Juste comme ça, plutôt que \Leftrightarrow qui est long à écrire, il y a \iff pour l'équivalence.)

I don't mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

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