Dérivée k-ième

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Auteur du sujet

Bonjour, je suis confronté à une difficulté sur un exercice de math :

Soit la fonction $g : t \rightarrow t^n e^{-t}, n \in \mathbb N \Leftrightarrow g'(t) = e^{-t}(n-t)t^{n-1}$.

Il faut démontrer que pour tout naturel k, la fonction $t \rightarrow e^t g^{(k)}$ (avec $g^{(k)}$ la fonction dérivée k-ième de g) est un polynôme de degré n.

Je n'arrive pas à procéder en fait, vous-avez un indice? Je cherche depuis un moment en fait…

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Staff

As-tu tenté par récurrence ? Pour k=0, c'est immédiat, et la récurrence se fait bien (à condition d'éviter les calculs :P ).

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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Auteur du sujet

Non, je n'y ai pas pensé. Je vais y réfléchir d'ici une heure : j'écris en cours d'anglais! :-° En revanche, qu'est-ce que tu veux dire par "éviter les calculs"?

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Staff

Ne cherche pas une formule explicite pour g(k). Savoir que etg(k) est un polynôme pour un certain k=k0 est suffisant pour savoir ce qui ce passe aux k supérieurs. Utilise les propriétés des polynômes pour faire le moins de calcul possible (ça peut vite devenir très lourd). La récurrence tient en 4 lignes seulement.

Édité par Gabbro

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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Auteur du sujet

De quoi tu parles par propriétés des polynômes? Si tu parles de divisibilité, théorème de Bézout, je ne suis qu'en TS. Mais je dois t'avouer que ce sujet m'intéresse fortement, bien que je n'ai pas eu le temps de l'aborder en autodidaxie (ce qui m'arrive parfois pour certains domaines).

Le truc que je n'arrive pas, c'est à formuler mathématiquement : "$e^t g^{(k)}$ est un polynôme". Tu dois bien écrire cela pour formuler ton hypothèse de récurrence et vérifier l'hérédité de cette assertion?

Éternel curieux

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Staff

La somme de deux polynômes et un polynôme, le produit de deux polynômes est un polynôme, la dérivé d'un polynôme est un polynôme. Ce sont des propriétés que tu dois connaitre. ^^ En pratique, tu veux aussi prouver ta fonction est un polynôme de degré n, donc il faut la version détaillée des propriétés ci-dessus (la somme d'un polynôme de degré n et d'un autre de degré m est…).

Le truc que je n'arrive pas, c'est à formuler mathématiquement : "etg(k) est un polynôme". Tu dois bien écrire cela pour formuler ton hypothèse de récurrence et vérifier l'hérédité de cette assertion?

Je propose,

Supposons que etg(k) soit un polynôme de degré n lorsque k vaut k0. Notons alors Pk0(t) le polynôme de degré n valent etg(k0).

Tu peux maintenant travailler pour prouver que etg(k0+1) est aussi un polynôme, que tu pourra exprimer en fonction de Pk0(t).

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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