physique statistique - force de pression

Bonjour,

En cours de physique statistique, un petit détail m’embête un peu : lorsque l'on veut calculer le nombre de particules qui frappent une paroi $dS$, on prend un parallélépipède de taille $dS \times v \times dt$ (à v vitesse fixée), on détermine le nombre de particules dans ce cube ayant la bonne vitesse et on divise par 6 pour des raisons "d'isotropie".

C'est cette division qui me parait peut recommandable.

Cependant après un calcul qui me semble juste (on découpe le parallélépipède en "tranche horizontale" entre $v \times cos( \theta)$ et $v \times cos(\theta +d \theta)$ et on ne prend que les particules qui ont un angle par rapport à la normale inferieure à $\frac{\pi}{2}- \theta$ ) je trouve $\frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \approx \frac{1}{6} ( \Delta \pm 8 $%)

Sur internet, pas vraiment trace de ces deux valeurs, est-ce que quelqu'un pourrait me confirmer que le $\frac{1}{6}$ n'est qu'une vilaine approximation ?

Salut,

Combien de faces à ton parallélépipède ?

Il y en a bien 6 mais elles sont de surfaces différentes et rien ne montre (bien au contraire : en partant d'un angle vers l'angle opposé) que toutes les particules toucheront un bord.

et rien ne montre (bien au contraire : en partant d'un angle vers l'angle opposé) que toutes les particules toucheront un bord

Hein ? Les particules sont de taille finie, elles ne peuvent pas passer à travers une arête de mesure nulle…

Si je me rappelle bien le chiffre 6 correspond aux six déplacements élémentaires et orthogonaux ( en cartésien : +x, -x, +y, -y, +z, -z) seules les particules du cube se dirigeant vers la paroi (disons celle suivant +x ) vont l'heurter à l'instant t+dt.

L'isotropie correspond a une équirépartition du champs des vitesses des particules : il y autant de particule qui se déplaçant dans chaque direction de l'espace. Cette approximation nous arrange bien , mais je demande a plus compétent que moi de la justifier

EDIT : courtcircuiter par adri1 je poste quand meme

Supposons pour simplifier que dS = $(v \times dt)^2$, on a donc un cube : Si une particule par trop proche d'un angle et va vers l'angle opposée, en un temps dt elle sera forcement dans la boule de rayon v*dt et de centre l'angle de départ; comme cette boule n'intersectionne aucune des trois faces opposées, la particule a bien évoluée dans le cube en ligne droite sans en sortir. Donc en fait on a forcement une probabilité < 1/6.

Moi j'aimerais bien qu'on reprenne avant l'apparition du 1/6 et qu'on m'explique toute cette histoire. Ça fait partie des mystères de ma vie

Je cherche une raison simple et claire, mais ce n'est pas facile.

Si on prend une situation extrêmement simplifié, c'est facile : imaginons que la particule puisse aller vers le mur, perpendiculairement ou dans chacune des autres directions à angle droit, on a bien 6 directions, dont une seule touche le mur.

On pourrait penser que ça dépend de la position de la particule (plus proche, elle aurait plus de chance de se diriger vers le mur, à cause des diagonales), et de la forme de la boite, mais je ne suis pas du tout convaincu. Je pense vraiment que c'est indépendant de la forme de la boite, mais je peine à trouver une démonstration simple et convaincante…

Tu parles du dSvdt ou d'autre chose ?

Bah le $dS \cdot v\cdot dt$ je suis ok, mais après comment vous arrivez au 1/6 ?

Avant toute chose, le mur est consudéré plat quelque soit sa courbure effective, car on travail sur une surface infinitésimale.

Le $dS \cdot v\cdot dt$ va donner le nombre de particules qui, si elles se dirigeaient vers le mur, le toucheraient. Si tu prends une situation simplifiée dans laquelle il n'y aurait que trois directions (une pour chaque dimension), le haut-bas, le droite-gauche, le devant-derrière, chaque particule aurait alors 1 chance sur 6 d'aller en haut, 1 chance sur 6 d'aller en bas, et ainsi de suite à gauche, droite, devant derrière.

Le système est isotrope, il n'a pas de direction (ni de sens) privilégiée. Donc tu peux sans perte de généralité choisir de dire que la direction "gauche" est orientée perpendiculairement au mur. Ainsi, chacune des 5 autres directions ne débouche pas sur le mur. Si autant de particule vont dans chaque direction, tu trouve que seul un sixième des particules ayant les bonnes distances et vitesses vont effectivement toucher le mur.

On me dira, « mais les particules n'arrivent pas forcément perpendiculairement au mur ». et c'est là que j'ai du mal à trouver un argument indéniable et simple.

Avant toute chose, le mur est consudéré plat quelque soit sa courbure effective, car on travail sur une surface infinitésimale.

La justification me plait pas (on peut être infinitésimalement courbé). Mais bon, disons que.

Le système est isotrope, il n'a pas de direction (ni de sens) privilégiée. Donc tu peux sans perte de généralité choisir de dire que la direction "gauche" est orientée perpendiculairement au mur. Ainsi, chacune des 5 autres directions ne débouche pas sur le mur. Si autant de particule vont dans chaque direction, tu trouve que seul un sixième des particules ayant les bonnes distances et vitesses vont effectivement toucher le mur.

Ok. Merci

Après vérification, les ouvrages utilisant explicitement cette expression (pour la démo des gazs parfaits en général) introduisent le modèle simplifié à seulement 6 directions. Je vais réessayer de calculer autrement la probabilité lorsque les angles sont quelconques mais je ne suis vraiment pas sur que cela fasse exactement 1/6.

Je suis prêt a parier qu'on retrouve 1/6. Par isotropie, quel que soit l'angle avec lequel les particules arrivent, ce sera identique sur chacune des 6 faces.

Je m'y suis recollé. Mon ancien calcul (fait entre deux exos en TD, donc de maniere beaucoup trop expéditive) était faux mais en reprenant les choses proprement je tombe sur 1/4. Je posterai un scan de mon calcul à l'occasion (c'est l'affaire de quelques lignes).

Par ailleurs, j'avais fait un petit programme de simulation (ouais, j'aime pas le doute !) et là encore 0.250 .

Je doute donc (tres tres) fortement de ce 1/6.