Exercices de logique

Salut, je viens de terminer à l'instant quelques exercices de logique mais il n'y a aucune correction, je souhaiterais donc revenir et discuter un peu de ce qui me perturbe un peu dans certaines de mes réponses

Tout d'abord, les exercices en question sont à la fin de ce pdf. J'écrirais donc le numéro des exos mais je ne vais pas répéter la consigne.

Exercice 4 :

"f est majorée mais n’admet pas de maximum"

Je dirais : $(\exists M \in \mathbb R, \forall x \in \mathbb R, f(x) \leq M)$ et $(\forall x \in \mathbb R, \exists y \in \mathbb R, f(y) > f(x))$ En effet, f admet un maximum par une phrase mathématique donne : $\exists y \in \mathbb R, \forall x \in \mathbb R, f(x) \leq f(y)$. Donc je prend dans le cas au-dessus le contraire de cette assertion.

Exercice 5 :

Pour la première j'utiliserais $\Rightarrow$ puisque cela reviendrais à dire $\forall (x,y) \in \mathbb R^2, (x \leq y$ ou $x \geq y)$. Pour la seconde, je n'arrive pas trop à visualiser. Je pense que l'on peut reformuler $x \geq y$ par $x > y$ ou $x = y$. Du coup, x = y est une condition suffisante mais est-elle nécessaire?

Pour les questions 4), 5), 6) et 8) je serais tenter d'utiliser l'équivalence, ça semble fonctionner dans les deux sens. En revanche pour la question 3), il y a un contre exemple : $-3 \neq 3$ mais pourtant $(-3)^2 = 3^2 = 9$. Raisonnement à peu près analogue pour la question 6) : $-3 < 2$ mais $9 > 4$.

Pour le reste je continue de rédiger, je pense que cela suffit pour commencer. Excusez le post un peu bordélique.

EDIT : bon la, c'est plus grilled, c'est carbonised.

En même temps, t’as fait un long message. Comme le dit le proverbe, les histoires les plus courtes sont les premières.

Merci pour toutes vos réponses!

Pour la 6), j'ai oublié de préciser mais j'avais trouver un contre exemple : -3 < 2 mais 9 > 4. Du coup, il n'y a pas d'équivalence, ni d'implication.

Pour la 8), comme dit klafyvel, la fonction $f(x) = x^2$ est strictement décroissante sur $\mathbb R^-$ du coup $\forall (x,y) \in \mathbb {(R^-)^2}, x < y \iff x^2 < y^2$ revient à dire $\forall (x,y) \in \mathbb {(R^-)^2}, x < y \iff f(x) < f(y)$ et stipule donc qu'elle est croissante sur $\mathbb {(R^-)^2}$, ce qui est faux.

Pour les questions 9) et 10) je pense que ce sont les mêmes cas qu'aux questions 3) et 6).

Pour la question 11), c'est l'implication $\Rightarrow$ et pour la question 12), il n'y a pas d'équivalence ni d'implication $\Rightarrow$. Il suffit de prendre comme contre-exemple des fonctions non-bijectives : $sin(0) = sin(\pi) = 0$. Pourtant, 0 rad $ \neq \pi$ rad.

Mais du coup c'est pas l'implication réciproque vu que $f(x) \neq f(y)$ est une condition suffisante pour dire que $x \neq y$ mais $x \neq y$ n'est pas une condition nécessaire…?

Il me reste trois questions :

Quelqu'un peut-il m'expliquer les réponses aux questions 6) et 7) de l'exercice 1 (je pense que les deux assertions sont vraies mais j'ai du mal à me justifier…)?

Est-ce que l'assertion à la question 4) de l'exercice 2 est vraie? Sinon, pourquoi? Parce que si x est un réel positif, rien n'empêche de dire que la racine carrée de x² soit x ou -x.

Merci pour votre patience et vos réponses efficaces !

Merci pour tes réponses. Aussi étrange que cela puisse paraître, j'avoue ne pas trop te suivre pour la 4).

J'ai une autre question : est-ce que si une condition est suffisante pour qu'une autre soit vraie, alors cette autre condition est obligatoirement nécessaire?

Aussi étrange que cela puisse paraître, j'avoue ne pas trop te suivre pour la 4).

L'application $x \mapsto \sqrt{x}$ donne la racine carrée positive d'un nombre, donc $\forall x \in \mathbb{R}^{+}, \sqrt{x^2} = |x| = x$

Tu peux clarifier ta question ? À quoi la seconde condition doit-elle être nécessaire ?

Soit A et B deux propositions. Soit l'assertion $A \Rightarrow B$, si A est une condition suffisante pour que B soit vraie alors B est-elle obligatoirement une condition nécessaire? Est-ce qu'il existe un cas ou A est une condition suffisante mais B n'est pas une condition nécessaire donc l'assertion $A \Rightarrow B$ est fausse?

Pour l'exercice 8, il est dit de représenter les ensembles correspondant aux négations sur un plan. C'est à dire faire un régionnement du plan? Pour la première, j'ai comme négation $x < 0$ ou $y \geq 0$. Donc je considère l'ensemble $E = \{(x,y) \in \mathbb R^2 | non(P(x,y))\}$ et j'obtient quelque chose comme ça :

Si j'ai bien compris alors je n'arrive pas à visualiser la troisième négation.

Oui, c'est une question un peu bête quand j'y pense.

Du coup l'exercice 5 était pas si difficile que ça. En revanche, j'ai besoin d'aide pour les représentations graphiques de l'exercice 8.

Pour l'exercice 7, les questions 4) et 6) me posent problème. Je pense avoir trouver faux pour les deux.

Je suis désolé de vous assommez de questions mais il n'y a aucune correction et j'ai très peu confiance en certaines de mes réponses. Je n'exclu pas quelques erreurs mais enfin!

Pour l'exercice 7, les questions 4) et 6) me posent problème. Je pense avoir trouver faux pour les deux.

Si on note $R$ le fait que ton raisonnement est correct et $A$ le fait que ta réponse est correcte, on a $R\Rightarrow A$. On peut en déduire que seule une réponse incorrecte permet de juger de la pertinence de ton raisonnement.

@adri1 : ce que tu dis est très pertinent.

Dans un premier temps, voici les assertions et leurs négations :

P : "$\forall x \in \mathbb R, f(x) = 0$" et non(P) : "$\exists x \in \mathbb R$ tq $f(x) \neq 0$".

Q : "$\exists x \in \mathbb R$ tq $f(x) = 0$" et non(Q) : "$\forall x \in \mathbb R, f(x) \neq 0$".

R : "$(\forall x \in \mathbb R, f(x) > 0)$ ou $(\forall x \in \mathbb R, f(x) < 0)$" et non(R) : "$(\exists x \in \mathbb R, f(x) \leq 0)$ et $(\exists x \in \mathbb R, f(x) \geq 0)$".

Je pense que si je réfléchi un peu, j'aboutirai à quelque chose.

Après réflexion :

Pour la 4), il n'y a aucune information quant à la continuité de f donc c'est faux. Pour la 6), c'est aussi faux. D'ailleurs, je pense qu'il est possible de reformuler non(R) de la sorte :

$\exists (x,y) \in \mathbb R^2, f(x) \leq 0$ et $f(y) \geq 0$.

Bien, je pense que cela suffit pour l'instant. J'ai une bonne partie des exercices au propre, je vais réfléchir au reste un peu tout seul. Merci pour votre aide.