Pourquoi différencier nombre et limite ?

Une limite finie c'est un nombre, par définition.

Les intervalles ouverts et fermés ont des propriétés, dites de topologie, différentes comme atteindre son maximum pour une application continue, par exemple

Salut !

parce que la limite de x quand x tend vers 1, c'est 1 et on n'a pas forcément envie de s'embeter à écrire $\lim_{x\to 1} x$ au lieu de 1 et que ça ne dit même pas de quelle fonction on parle (pourquoi le x apparait-il dans ta limite?).

On considère les intervalles ouverts différemment des intervalles fermés, parce qu'en topologie, le premier a la propriété d'ouvert (i.e en tout point, tu peux caser une boule de rayon nulle qui appartient toujours à l'intervalle) et le second de fermé (toutes les suites convergent dans l'ensemble). Les seuls ensembles réels qui ont ces deux propriétés sont le tout et le vide, donc ça montre l'intérêt qu'on peut avoir de les discriminer par ça.

C'est toujours assez arbitraire de savoir "pourquoi on a defini ca comme ca et pas comme ca", mais on a fait en l'occurrence le choix le plus fin en prenant une definition forte du maximum d'une partie (disons qu'on se placera dans $\mathbb{R}$ et son ordre usuel jusqu'a la fin, mais beaucoup de notions sont largement generalisables). Par definition, le maximum d'une partie est "atteint".

Il y a une notion qui s'adapte plus ou moins a ce que tu dis, c'est celle de supremum, note $\sup$ (resp. d'infimum $\inf$), qu'on va definir (s'il existe) comme le plus petit majorant de la partie (resp. le plus grand minorant). Ici, un majorant c'est un nombre plus grand que tous les nombres de la partie (sans etre forcement dedans), et "le plus petit" doit etre pris au sens de min (le $\sup$ doit donc lui-meme etre un majorant).

Deja, si une partie admet un maximum, alors elle admet un sup (le maximum est un majorant, et c'est pas trop dur de voir que c'est forcement le plus petit). La notion de maximum est donc une propriete plus forte que celle de supremum. Et intuitivement, on peut se dire que c'est interessant de separer les deux : savoir si on atteint la valeur, c'est un apport d'information.

Une propriete interessante de $\mathbb{R}$, c'est que toute partie non vide majoree admet un sup. C'est assez intuitif (sur $\mathbb{R}$ represente comme une droite de gauche a droite, on regarde le point le plus a gauche qui soit a droite de tous les points de la partie). Dans ton exemple, le sup de $\{1-e^{-x}, x \in \mathbb{R}\}$ existe et vaut $1$ (mais il n'y a pas de max !).

Ainsi, plutot que d'inventer des notations qui pourraient rentrer en collision avec d'autres deja existantes, on a tout interet a reeutiliser la notion de $\sup$ (qui est centrale dans la theorie plus generale des "ensembles ordonnes", et qui du coup est aussi utile en pratique).

Apres, on pourrait broder un peu et remarquer que ce qu'on a fait sur la notion de maximum, on peut aussi plus ou moins le faire sur celle de limite (cf. les limites inferieures et superieures, qui sont deux limites "generalisees" qui ont la bonne idee de toujours exister dans $\mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$).