Croissance d'une application sur des ensembles

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Bonjour,

Je suis actuellement en train de faire un DM de maths et je bloque sur une question, le sujet m'indique :

Soient $E$ un ensemble quelconque, $A$ et $B$ deux parties de $E$ (donc $(A, B) \in [P(E)]^2$)

Si $X \in P(E)$, on note $f(X) = (X \cap A) \cup B$ l'application $f : P(E) \rightarrow P(E)$

Plus loin j'ai une question me demandant de démontrer que la fonction $f$ est croissante au sens de l'inclusion (pour $(X, X') \in [P(E)]^2, X \subset X' \Rightarrow f(X) \subset f(X')$)

J'ai donc marqué :

$X \subset X'$

$\Rightarrow (X \cap A) \subset (X' \cap A)$

$\Rightarrow [(X \cap A) \cup B] \subset [(X' \cap A) \cup B]$

$\Rightarrow f(X) \subset f(X')$

Sauf que je ne suis pas convaincu de mes implications, est-ce que le fait de prendre l'intersection (ou l'union) avec un autre ensemble conserve l'implication ?

Merci d'avance pour vos réponses

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Salut,

Si tu n’arrives pas à t’en convaincre comme ça, reviens aux définitions. Soit $x \in E$.

Si $x$ appartient à $X$, alors $x$ appartient à $X’$, donc si $x$ appartient à $X$ et $x$ appartient à $A$, alors $x$ appartient à $X’$ et $x$ appartient à $A$. La première implication est vraie.

Maintenant, on va noter $C = X \cap A$ et $C’ = X’ \cap A$. Si $x$ appartient à $C$ alors $x$ appartient à $C’$, donc si $x$ appartient à $C$ ou à $B$ alors $x$ appartient à $C’$ ou à $B$. La deuxième implication est aussi vraie.

Tu peux aussi faire des petits dessins pour t’aider.

Je fais un carnage si ce car nage car je nage, moi, Karnaj ! - Le comble pour un professeur de mathématique ? Mourir dans l’exercice de ses fonctions.

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Auteur du sujet

Merci pour l'explication, je comprend pourquoi l'implication est conservée, j'avais essayé d'utiliser un diagramme de Venn, le problème c'est que le dessin ne représente qu'un cas particulier, donc il peut éventuellement exister un contre-exemple, encore merci pour cette aide.

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Representation graphique union/intersection

(Ton talent pour dessiner des patatoides sur un papier etant surement >>> au mien pour le faire sur un ordinateur, ca sera surement plus clair sur ta feuille. :p)

On a bien "represente" tous les cas sur ce dessin, quitte a voir les zones delimitees comme etant eventuellement vides. Apres est-ce que c'est vraiment exhaustif… ca revient a se demander si on peut vraiment remplacer la preuve par l'image. Mais, dans tous les cas, on est fortement convaincu que ca marche, avec ca.

Édité par Lucas-84

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