Problème d'homogénéité dans un calcul de gradiant

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Bonjour à tous !

J'ai un problème avec le calcul suivant :

$$\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\text{grad}}\left(\frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0}\left(\frac{r}{R}\right)^3\cos(3\theta)\right)$$ En coordonnées cylindriques donc. On a $V$ ce qui est dans le gradient. Je tombe alors sur les résultats suivants : $$\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{e_r}=\frac{\partial V}{\partial r}=-\frac{3\lambda\cos(3\theta)r^2}{\pi\varepsilon_0R^3}$$ $$\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{e_\theta}=\frac{\partial V}{\partial\theta}=\frac{3\lambda\sin(3\theta)r^3}{\pi\varepsilon_0R^3}$$

Ce qui… n'est pas homogène u_u

Il me semble que j'ai un facteur $r$ en trop dans l'expression de $\displaystyle\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{e_\theta}$, mais je ne vois pas pourquoi est-ce qu'il s'enlèverait magiquement comme ça, alors que je réalise une dérivée partielle selon $\theta$

Pourriez-vous m'aider à trouver mon erreur ?

Merci d'avance !

Édité par BunshinKage

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Bonjour,

Erreur dans la formule du gradient, je pense :

$$\overrightarrow{\nabla} f = \frac{\partial f}{\partial r}\overrightarrow{e_r} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta}\overrightarrow{e_{\theta}}$$

Et tout de suite, c'est re-homogène. :magicien:

Édit : un embryon d'explication, peut-être. Le gradient ne se calcule pas pareil en coordonnées cartésiennes, polaires ou cylindriques. Pour te convaincre de la présence du 1/r, tu peux refaire le calcul pour passer des coordonnées cartésiennes en polaire. Le calcul est peu intéressant en soi (et on se trompe très facilement), mais tu verras le 1/r apparaitre.

Édité par Gabbro

Il y a bien des façons de passer à l’acte. Se taire en est une. Attribué à Jean-Bertrand Pontalis

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