Phase initiale d'une grandeur sinusoïdale

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour,

Dans mon livre d'electrotechnique, nous avons défini une grandeur sinusoïdale de la manière suivante:

$$Xsin(\omega t + \alpha)$$

avec $X$ valeur de crête, $\omega$ la pulsation, et $\alpha$ la phase initiale. Je comprends bien le rôle de chacun de ces paramètres, cependant, il est marqué que

$$\alpha = 2\pi * \frac{T_1}{T}$$

avec $T_1$ la première valeur de t pour laquelle cette fonction s'annule à gauche de l'ordonnée, et T la période de la fonction.

Mais même après plusieurs calculs, je n'arrive pas à comprendre d'où sort cette formule..

Merci d'avance pour votre aide. Bon week-end.

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$\alpha$ est une phase. De là, d'un point de vue physique comme mathématique, tout est dit.

Le truc, c'est que c'est peu pratique à utiliser, une phase, pour les électrotechniciens. Ils utilisent donc une expression pour la phase. Cela se fait sans perte de généralité : leur phase est aussi comprise entre 0 et $2\pi$, période de la fonction sinus ; en effet, T1 est inférieur à T, donc $\alpha$ inférieur çà $2\pi$.

T, c'est la période, donc tout simplement $\frac{2\pi}{\omega}$, donc $\alpha = \omega T_1$, si tu préfères. Tu peux réécrire ton sinus si tu en as envie, et dire :

$$X\sin(\omega t+\alpha) = X\sin(\omega \times (t + T_1))$$

D'où l'importance de l'annulation à gauche. T1 n'est rien d'autre qu'un décalage par rapport à l'origine, une translation sur l'axe des abscisses.

Reste une question : en quoi c'est plus simple pour de l'avoir écrit comme dans ton livre. Là, j'en sais rien, je ne suis pas électrotechnicien. Mon habitude, c'est d'écrire $X\sin(\omega \times (t - T_2))$, avec T2 l'annulation à droite. Mais mathématiquement, c'est strictement équivalent.

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Salut. Dans mes cours d'électrotechnique (bac pro), la formule m'était présentée un peu différemment. Peut-être que cette version te conviendrait mieux ?

$$ u = Û \times \sin (\omega t + \phi) $$

Où :

  • u : La tension à un instant t
  • Û : La valeur de crête de la tension efficace U, calculée avec $Û = U \times \sqrt{2}$
  • $\omega$ : Pulsation de la tension, en radians par seconde, calculée avec $\omega = 2 \pi f$ (où f est la fréquence en Hertz)
  • $\phi$ : La phase à l'origine, qui n'est pas une valeur absolue (sert de référence pour déterminer un "instant 0" et un décalage par rapport à d'autres tension, si tu fais un graphique avec plusieurs tensions superposées, simulant le déphasage)

Ce qui donne, pour la tension d'une phase quelconque en France (par rapport au neutre) :

$$ u = 230 \times \sqrt{2} \times \sin (2 \times \pi \times 50 t + 0) $$ $$ u = 325 \times \sin (314 t) $$

Après, tu peux calculer la tension à tout instant d'une autre phase en changeant la valeur de $\phi$, et superposer les courbes pour avoir les trois tensions d'un régime triphasé.

Je devrais pouvoir retrouver mes cours d'électrotech demain (je ne suis pas chez moi). Je pourrais recopier les parties afférentes si tu veux. ;)

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Je rajoute encore un petit élément de réponse, même si les gens du dessus en ont parlé un peu.

On définit bien un signal sinusoïdal par sa forme générale :

$$ s(t) = S \sin(\omega t + \varphi) $$

Cependant, la phase n'est importante que lorsqu'on compare deux signaux, parce que le temps 0 est au libre choix de l'expérimentateur (on démarre le chronomètre quand on veut !). Avec deux signaux, on considère seulement l'écart des phases, on parle alors déphasage. On aura alors par exemple :

$$ s_1(t) = S_1 \sin(\omega t) $$
$$ s_2(t) = S_2 \sin(\omega t + \Delta\varphi) $$

Je prend arbitrairement $s_1$ avec un déphasage nul, parce que je décide de lancer le chronomètre quand ce signal s'annule en croissant.

Si on mesure l'écart temporel entre les deux signaux $s_1$ et $s_2$, on trouvera par exemple $T_1$. Cela représente une certaine proportion $\frac{T_1}{T}$ de la période des signaux. Si l'on veut exprimer ça en angle, il suffit de multiplier par $2\pi$ (parce que la fonction sinus est $2\pi$-périodique :

$$\Delta \varphi = 2 \pi \frac{T_1}{T} $$

On remarque d'ailleurs qu'ici, le temps n'intervient pas.

Quand ton livre parle de première annulation à gauche de l'ordonnée, il fait en fait exactement la même chose que moi à l'instant : il mesure l'écart entre le signal déphasé (ici $s_2$) et le signal pas déphasé du tout ($s_1$).

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