Décomposition en fractions simples

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour !

J’ai un petit problème avec la décomposition en fractions simples (ou en fractions partielles comme les appelle les anglais). Il s’agit de trouver, par exemple, AA et BB tel que:

s(s−2)(s+3)=As−2+Bs+3\frac{s}{(s-2)(s+3)} = \frac{A}{s-2} + \frac{B}{s+3}

Pour résoudre ce genre de problème1, je commence par multiplier les deux côté de mon expression par s−2s-2, et je pose s=2s=2. Je trouve alors

A=ss+3∣s=2=25A=\left.\frac{s}{s+3}\right|_{s=2}=\frac{2}{5}

et pareil en multipliant par s+3s+3 et en posant s=−3s=-3,

B=ss−2∣s=−3=35B=\left.\frac{s}{s-2}\right|_{s=-3}=\frac{3}{5}

et j’ai donc bien séparé ma fraction :

s(s−2)(s+3)=251s−2+351s+3\frac{s}{(s-2)(s+3)} = \frac{2}{5}\,\frac{1}{s-2} + \frac{3}{5}\,\frac{1}{s+3}

Le problème, c’est que cette méthode, aussi bien soit-elle, ne fonctionne que tant que mon dénominateur peut se réécrire sous la forme d’un produit de polynomes possédant tous des racines réelles. Par exemple, dans l’exemple suivant …

s(s−2)(s2+4)=A′s−2+B′s2+4\frac{s}{(s-2)(s^2+4)} = \frac{A'}{s-2} + \frac{B'}{s^2+4}

… Je suis coincé pour trouver B′B' parce que s2+4s^2+4 ne possède pas de racines (réelles), et ne peut pas s’écrire sous une forme plus simple qui me permettrait de trouver la réponse.

Or, ça n’embête absolument pas [Wolfram Alpha](https://www.wolframalpha.com/input/?i=partial+fractions+of+s%2F((s-2)(s%5E2%2B4)), qui parvient à trouver une réponse (qui, à priori, n’implique pas d’utiliser des nombres imaginaires, mais je peux me tromper). On dirais qu’il pose que B′(sx)=Cs+DB'(sx)=Cs+D et qu’il trouve CC et DD, sauf que je vois pas trop comment. Est ce que vous auriez une idée ?

D’avance merci :)

  1. le fait que j’utilise la variable ss et que je veille séparer en fraction simple est qu’il s’agit d’une transformée de Laplace et que mon but est de faire une transformée de Laplace inverse (donc finir sur une somme d’exponentielles, de sinus et de cosinus)

    ↩
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A ta place j commencerais par écrire que $s =s - 2 + 2 $ au numérateur, ça fera un simplification qui fera disparaître s en haut et après ça devrait aller mieux, non ?

Édit : il peut aussi arriver que tu ais besoin de passer par les complexes effectivement mais que des combinaisons les fasses disparaître pour retomber dans le monde des réels. Mes cours de décomposition en éléments simples sont loiinnnnns.

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Dans mon cours de maths, on dit qu'une fraction simple est une fraction du type :

$$\frac{A}{ (x+a)^{\alpha} }$$

Ou du type :

$$\frac{Cx + D}{ (x^{2} + bx + c)^{\beta} }$$

Du coup, ton $s^{2} + 4$ est de la forme $s^{2} + bs +c$ et donc tu ne dois pas chercher $B'$ mais $Cs + D$.

Après, je ne sais pas si une fraction simple est toujours de cette forme ou si c'est un raccourci qu'a pris ma prof de maths. ^^

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Comment on s'en sort pour trouver tes coefficients A, B et C ?

Personnellement, j'aime bien faire un système d'équation. Mais encore une fois, je ne sais pas si c'est rigoureux d'un point de vue mathématique. Du coup, avec ton exemple, ça donne :

$$\frac{s}{(s-2)(s^{2} + 4)} = \frac{A}{s-2} + \frac{Bs + C}{s^{2} + 4}$$

Je mets au même dénominateur :

$$\frac{s}{(s-2)(s^{2} + 4)} = \frac{A (s^{2} +4) + (Bs + C)(s-2) }{(s-2)(s^{2} + 4)}$$

Les dénominateurs étant égaux, les numérateurs doivent l'être aussi et donc :

$$s = As^{2} + 4A + Bs^{2} - 2Bs +Cs -2C$$

J'isole les différentes puissantes de s :

$$s = (A+B)s^{2} + (-2B + C)s + 4A - 2C$$

Du coup, j'ai $(A+B) = 0$, car je n'ai pas de $s^{2}$ dans le membre de gauche. Avec le même raisonnement, j'ai $(-2B +C) = 1$ et $4A - 2C = 0$

Je résous mon système d'équations :

$$\left\{\begin{aligned} A + B = 0\\ -2B + C = 1\\ 4A - 2C = 0 \end{aligned}\right.$$

Je trouve que $A = \frac{1}{4}$, $B = -\frac{1}{4}$ et $C = \frac{1}{2}$.

Ton équation de départ se décompose donc comme :

$$\frac{s}{(s-2)(s^{2} + 4)} = \frac{\frac{1}{4}}{s-2} + \frac{\frac{-1}{4}s + \frac{1}{2}}{s^{2} + 4}$$
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Yup cette méthode marche.

Après j'ai aussi vu des gens utiliser des limites intéressantes pour obtenir directement des coefficients, mais je me rappelle plus comment ils faisaient.

Par rapport à la forme des fractions simples, gardez en tête que si on a une fraction rationnelle $P/Q$ alors on commence par procéder à la division euclidienne de $P$ par $Q$, ce qui donne

$$ P = BQ + R $$

et on a déjà un premier terme, à savoir

$$ P/Q = B + R/Q $$

et $R$ est premier avec $Q$.

Maintenant, dans le domaine réel, la factorisation de $Q$ se fait avec des polynômes unitaires de degré $1$ ou $2$ (de discriminant strictement négatif), c'est donc pour ça qu'apparaît deux formes de dénominateurs différentes.

Supposons que $Q = Q_1Q_2Q_3$ (on s'est limité à $3$, mais pas d'importance). Le but c'est maintenant d'écrire

$$ \frac RQ = \frac {R_1}{Q_1} + \frac {R_2}{Q_2} + \frac{R_3}{Q_3} $$

ce qui revient effectivement à ce que

$$ R = R_1Q_2Q_3 + Q_1R_2Q_3 + Q_1Q_2R_3. $$

Par unicité des coefficients polynomiaux, on a un jeu d'équations.

Par rapport à la forme des $R_1,R_2,R_3$, il faut garder à l'esprit qu'ils sont de degré strictement inférieur ! Pourquoi cela ? Parce que dans l'expression précédente, si par exemple le degré de $R_1$ est strictement supérieur à celui des $Q_i$ alors $R_1Q_2Q_3$ est de degré strictement supérieur à $Q$, absurde car le reste de la division $R$ doit avoir un degré strictement inférieur à celui de $Q$.

Lorsque $Q$ est de degré $1$, on obtient que $R$ est une constante (car degré nul) et lorsque $Q$ est de degré $2$, on obtient que $R=aX+b$ avec potentiellement $a=0$ (degré $1$ ou $0$).

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La methode la plus simple ici est probablement d'utiliser le meme truc que tu as utilise pour les polynomes de degre 1.

$$\frac{X}{(X-2)(X^2+4)} = \frac{a}{X-2} + \frac{bX+c}{X^2+4}$$

On trouve $a = \frac{1}{4}$ facilement. Pour $b$ et $c$, on multiplie par $X^2+4$ et on evalue en $\pm 2i$. On trouve $2bi + c = \frac{i}{i-1}$ (1) et $-2bi+c = \frac{i}{i+1}$. Donc :

$$c = \frac{1}{2}\left(\frac{i}{i-1}+\frac{i}{i+1}\right) = \frac{1}{2}$$

et

$$b = \frac{1}{4i}\left(\frac{i}{i-1}-\frac{i}{i+1}\right) = -\frac{1}{4}$$

Tout marche bien par existence et unicite, etc. Apres comme toujours avec la decomposition en elements simples il y a plein d'astuces possibles pour faire zero calcul, par exemple on aurait pu evaluer en 0 pour trouver $c$ gratuitement. Mais il y a aussi beaucoup de methodes qui marchent toujours, comme celle-ci.

EDIT : Encore plus rapide a partir de (1) seulement : $\frac{i}{i-1} = \frac{1-i}{2}$ donc en identifiant parties reelles et imaginaires : $b = -\frac{1}{4}$ et $c = \frac{1}{2}$. Un seul calcul.

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@Koala: je préfère éviter cette méthode, parce que ça devient vite long lorsqu'on se retrouve avec 4 ou 5 trucs au dénominateurs. Mais sinon, je confirme qu'elle fonctionne (et crois sur parole Holosmos quand il dit DÉMONTRE que ça marche :p ). Et du coup, je préfère encore passer par des complexes, puisqu'on dirait que ça fonctionne quand même :)

ÉDIT: fix'd :p

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