Etude de Série

Salut tout le monde étant en pleine révisions de partiels je bloque sur une série et je ne sais pas trop par où commencer :/

Je dois simplement déterminer le caractère divergent ou convergent de la série suivante :

Le faite qu'il y ait une somme à l'intérieur de la série me pose problème. J'ai l'impression que ca ressemble beaucoup au produit de Cauchy de deux séries convergente . J'aurai eu tendance à écrire cela :

Auriez vous une piste ou une indication qui me permettrait un peu d'avancer s'il vous plait ?

Merci d'avance

Ça sent la somme de Riemann à plein nez.

oui j'imagine bien que je vais aboutir à une somme de Riemann, mais avant d'arriver à la il faudrait que je remarque quelque chose je pense.

@blo : d'accord merci c'est bien ce que je pensais, du coup je vois pas du tout comment attaquer cette série :/

C'est quoi le produit de convolution de deux suites ?

Soit deux séries convergentes $\sum_{n=0}^{\infty} A_{n} $ et $\sum_{n=0}^{\infty} B_{n} $

Alors la série : $\sum_{n=0}^{\infty} A_{n} \times \sum_{n=0}^{\infty} B_{n-k} $ converge également.

Sauf que ici je n'arrive pas à décomposé ma série en 2 série convergentes .

Alors la série : $\sum_{n=0}^{\infty} A_{n} \times \sum_{n=0}^{\infty} B_{n-k} $ converge également.

…

Ce n'est pas une série, donc ça n'a pas de sens de dire qu'elle converge ou non. (Et c'est quoi $k$ ? S'il est supérieur à 1 tu vas te retrouver avec un $B_{-1}$.)

Sauf que ici je n'arrive pas à décomposé ma série en 2 série convergentes .

Prends une définition propre pour commencer (si tu suis un cours, ça devrait être dedans).

Mais sinon, le produit de convolution a bien quelque chose à voir avec $\left(\sum_{n=0}^\infty A_n \right) \left(\sum_{n=0}^\infty B_n \right)$.

Voilà le théorème exacte que j'ai dans mon cours :

Soient $\sum_{n=0}^{\infty} A_{n} $ et $\sum_{n=0}^{\infty} B_{n} $ deux séries à termes positifs convergentes.

Alors la série $\sum_{n=0}^{\infty} C_{n} $ tel que : Pour tout entier naturel n l'on ait, $C_{n} = \sum_{k=0}^{n} A_{n} \times B_{n-k} $ est appelé produit de Cauchy, des séries $\sum_{n=0}^{\infty} A_{n} $ et $\sum_{n=0}^{\infty} B_{n} $ .

Cette série est convergente, et sa somme vérifie : $\sum_{n=0}^{\infty} C_{n} = \sum_{n=0}^{\infty} A_{n} \times \sum_{n=0}^{\infty} B_{n} $

C'est presque ça, tu t'es juste trompé dans ton expression de $C_n$, c'est $A_k$ et pas $A_n$. Vois-tu intuitivement ce produit de convolution ? Je ne sais pas si je saurai te l'expliquer, mais déjà le terme numéro $n$ du produit de convolution est la somme des $A_x B_y$ avec $x + y = n$.

Et donc, le terme général de ta suite,

n'est-il pas de la forme $\sum_{k=0}^{n} A_{k} \times B_{n-k}$ ?