Probabilité d'aller en vacances sous l'océan

Salut à tous,

en regardant le début de cette vidéo de Chris de Poisson Fécond je me suis demandé si l’on pouvait calculer la probabilité d’aller en vacances sous l’océan en mettant son doigt sur un globe terrestre. Après quelques centièmes de seconde de réflexion je me suis dit qu’il n’y avait pas de raison pour que ce ne soit pas possible alors je me suis demandé comment faire pour calculer cette probabilité, j’ai pensé à

mais je pense que c’est oublier le fait que les chances de mettre son doigt sur un point ne sont pas égales pour tous les points (qui se met sur les pôles ?). Du coup j’aimerais avoir vos avis sur la question surtout que mon niveau en probabilités est assez faible.

Merci d’avances pour vos réponses.

P.S.: Les nombres sont de Wikipédia là et là

https://youtu.be/NDKpAPJfns4?t=1m6s Désolé, je peux pas m’en empêcher.

Au passage, ton raisonnement est bon, mais avec le pourcentage de surface d’océan tu as directement ta probabilité et tu n’as même pas besoin de la surface totale de la Terre.

Si tu veux prendre en compte le fait que l’on ne choisis pas uniformément un point sur le globe, cela amène 2 difficultés. La première, comme l’a fait remarquer Holosmos, est qu’il faudra utiliser des outils de proba un peu plus poussés (probablement une intégrale sur une sphère). Le deuxième point est bien plus embêtant à mon avis: il te faudra non pas le pourcentage de surface d’océan sur Terre, mais la décomposition plus ou moins précise des espaces océaniques.

Par exemple, si tu veux faire varier ta probabilité en fonction de la longitude, il te faudra une connaissance du pourcentage de surface d’océan à chaque longitude. Pire encore, si tu veux pouvoir appliquer n’importe quel fonction de probabilité sur la surface du globe, il faudra que tu connaisses précisément les frontières océans/continents.

https://youtu.be/NDKpAPJfns4?t=1m6s Désolé, je peux pas m’en empêcher.

Moi non plus.

Au passage, ton raisonnement est bon, mais avec le pourcentage de surface d’océan tu as directement ta probabilité et tu n’as même pas besoin de la surface totale de la Terre.

Yep mais j’ai cherché la surface de la Terre avant celle des océans du coup je l’ai quand même mis.

Yep j’ai un peu ressasser ça et je me suis bien dit que cette proportion n’est pas suffisante. Et bien sûr je me doutais que la réponse n’est pas du tout simple et bien au delà de mon niveau mais je me suis dit que c’est toujours enrichissant de savoir comment faire en plus ça mène à une vingtaine de questions supplémentaires.

Faudrait faire longitude par longitude (parce que le doigt est fixe, et le mouvement ne se fait que de manière longitunidale). Mais bon, ça peut faire un bon atelier sur ZDS (avec l’aide de géographes <3).

Pas compris

Sinon question ouverte (normalement pas difficile, quoique ?) : existe-t-il une symétrie non triviale de la sphère qui nous permette de nous contenter du ratio entre océan et terre ?

Bien sûr cette symétrie dépend de la configuration. L’idée est de se demander si une telle symétrie existe et auquel cas ce qu’on peut dire d’une distribution invariante par cette symétrie.

Qu’est-ce ?

Une symétrie qui ne soit pas l’identité. Par exemple une rotation.

Sinon, autre piste de recherche qui me paraît intéressante.

Donner une méthode de construction d’une triangulation de la Terre. Sur cette triangulation, en considérant sur chaque face un type (terre/mer) et une valeur de distribution (en gros on prend la distribution constante sur chaque face), évaluer la qualité de l’approximation.

Une triangulation, ici ce sera juste un ensemble de point et d’arcs de cercles les reliants en formant des triangles « courbés ».

Peut-être voulait-il dire que, comme le globe terrestre tourne sur lui même à vitesse constante, tout les méridiens (et donc l’angle $\theta$) sont équiprobables. L’expression de la probabilité de toucher le point ne dépend pas de $\theta$.

Seuls les parallèles ont des probabilités différentes.

Une autre solution, p-ê un peu moins mathématique : simuler des milliers (millions ?) de points sur une carte avec une probabilité qui diminue proche des pôles (donc maximal à l’équateur). Il faut par contre définir la fonction qui à la latitude associe la probabilité, c’est ce qui me semble le plus dur. Peut-être créer des bandes (4 ou 5 ?) dont la somme des probas vaut 1 ?

Une autre solution, p-ê un peu moins mathématique : simuler des milliers (millions ?) de points sur une carte avec une probabilité qui diminue proche des pôles (donc maximal à l’équateur). Il faut par contre définir la fonction qui à la latitude associe la probabilité, c’est ce qui me semble le plus dur. Peut-être créer des bandes (4 ou 5 ?) dont la somme des probas vaut 1 ?

Bof, dans les deux cas tu as besoin connaitre le contour des océans, donc si on connait ce dernier, autant croiser la position des océans avec la densité de probabilité de la position prise au hasard et pas la peine de faire un tirage un peu lourd…

Quand à la ddp de la position choisie, une façon simple serait juste de considérer qu’elle est invariante en longitude et donc prendre l’harmonique $Y_2^0$ (et c’est un jeu d’enfant à intégrer ensuite).

Tout tirage plus réaliste aura une part d’arbitraire : quel est la probabilité pour un humain de choisir une certaine latitude.

Une solution amusante, mais probablement peu réaliste (comme toute celle faisable, je pense), serai de dire que le globe tournant vite, toutes les longitudes sont équiprobables, mais la latitude est un mouvement brownien partant de la position actuel du vacancier. En mode, je suis ici, et je vais aller en vacances… Commence à bouger. Là !

Ça vaut ce que ça vaut.

En vrai le problème est qu’il est impossible de modéliser la distribution du toucher d’une personne sur le globe. On peut imaginer plein de truc mais c’est impossible vu le peu de contraintes du problème

Ben… Imaginer un truc (simple comme une distribution uniforme, ou plus élaboré comme un random walk), c’est modéliser. Savoir si le modèle est pertinent ou non, c’est une autre question, mais absolument rien n’empêche de modéliser.

Vous êtes pas drôle, la bonne question c’est pas de savoir comment faire la distribution, mais qu’est-ce qu’on peut dire sur presque toute distribution :P.

Probablement pas grand chose vue l’absence de symétrie de disposition des lignes de côtes…

À la limite, il faudrait demander à quelques agrumes de faire plusieurs essais et de noter la latitude à chaque fois. Ça permettrait devoir la répartition. Vous pensez qu’on aura une courbe de Gauss ?

Vous pensez qu’on aura une courbe de Gauss ?

Probablement pas, en tout cas je vois pas le rapport.

Mais on peut certainement avoir des encadrements intéressants, quitte à rajouter de la régularité sur nos distributions.

Vous pensez qu’on aura une courbe de Gauss ?

Probablement pas, en tout cas je vois pas le rapport.

En fait, c’est même sûr que non, puisque une gaussienne prend ses valeurs sur $\mathbb R$ alors que la latitude prend ses valeurs dans $\left[-\dfrac\pi 2;\dfrac\pi 2\right]$…

Qu’est-ce qui te fait dire que c’est certain ? Tu as une idée en tête ?

Déjà il faudrait se fixer sur le globe : Est-ce une shpère libre ou un globe avec un axe ? Si il a un axe de rotation, quel est l’inclinaison de celui-ci ?

Par exemple sur un globe comme celui-ci :

A titre personnel si je le fais tourner et pose mon doigt dessus il est beaucoup plus probable de taper dans l’hémisphère nord que sud.

Qu’est-ce qui te fait dire que c’est certain ? Tu as une idée en tête ?

On a tous les ingrédients pour un théorème bien fort : compacité, mesure finie, régularité, simple connexité. J’ai pas fait de démo, mais c’est certainement impossible de ne rien trouver.