Probabilités

Bonjour,

J’ai quelques questions sur ce problème de proba: On aimerait connaître le numéro de plaque d’immatriculation le plus élevé dans la ville de Paris. Pour cela, on fait un tour dans un des parkings de quelques parkings et on relève les numéros de quelques plaques Parisiennes. On utilise un échantillon indépendant et identiquement distribué $X1, X2, . . . , Xn$ suivant une loi uniforme $U[0, \theta ], \theta>0$. On pose $M_n = max(X1, . . . , Xn)$ et on définit sa fonction de répartition comme étant $F_{M_n}(x) = P(M_n \le x)$. On aimerait construire un intervalle qui a 95 % de chance de contenir $\theta$.

a) Donner l’expression de la fonction de répartition.

Déjà, ici, est-ce que ma fonction de répartition sera ${F_{{M_n}}}(x) = \int\limits_0^x {\frac{{dt}}{\theta }} = \frac{x}{\theta }$ vu que c’est défini comme le max donc une seule variable aléatoire ou bien est-ce ${F_{{M_n}}}(x) = {(\int\limits_0^x {\frac{{dt}}{\theta }} )^n} = {(\frac{x}{\theta })^n}$ car on a $n$ variables aléatoires indépendantes?

b) Soit ${I_n} = [{M_n};{0.05^{ - 1/n}}{M_n}]$ . Calculer la probabilité que $\theta$ appartienne à cet intervalle. OK -> On trouve 95%.

c) Quelle est la longueur $D_n$ de cet intervalle $I_n$ ? Calculer $E[{D_n}]$. Là, j’ai aucune idée pour calculer l’espérance de ${D_n} = ({0.05^{ - 1/n}} - 1){M_n}$. Ce qui me pose problème est de calculer $E[{M_n}]$ bien sûr, le reste étant constant et pouvant sortir de l’opérateur. Est-ce tout simplement $E[{M_n}] = \int\limits_0^\theta {x{{(\frac{x}{\theta })}^n}dx} $ ?

Avant de pouvoir élaborer une réponse plus complète, j’aimerais savoir si tu confirmes ton t’ait exactement écrit $U[0 ; \theta ] $ et non pas $U[|0 ; \theta |]$ et si on est d’accord que theta représente le numéro maximal.

Dans l’énoncé, pour être exact ils écrivent $U[0,\theta ],\theta > 0$ (pas de valeur absolue) . Et, c’est pas précisé dans l’énoncé mais je suppose que ça doit être le numéro maximal.. Sinon je vois pas ce que ça pour être d’autre (mais j’avoue ne pas super bien comprendre l’énoncé donc c’est peut-être pas ça)

Merci!

Je pense que Goeland-croquant voulait parler de l’intervalle des entiers de $0$ à $\theta$, en général c’est noté $[\![0,\theta]\!]$. Ce serait plus cohérent avec la mise en forme, puisque ce serait bizarre d’avoir un nombre infini non dénombrable de plaques possibles. Et puis du coup on pourrait se ramener à $\theta = 1$.

C’est bon pour le a.

Est-ce tout simplement $E[{M_n}] = \int\limits_0^\theta {x{{(\frac{x}{\theta })}^n}dx} $ ?

Non, ce n’est pas ça. Il y a bien une formule comme ça mais ce n’est pas $\big(\frac{x}{\theta}\big)^n$ qu’il faut mettre à cette place (c’est quoi le nom de ce qu’il faut mettre à cette place ?).

Je posais la question sur la notation de l’intervalle car cela m’interpellait qu’on considère que des numéros de plaque suivent une loi continue, puisque comme on peut s’en douter on ne doit guère trouver de plaque numéro 13.1452685669 mais plutôt des nombres entiers et que dans le modèle des lois continues, $P(X=n) = 0 $ peu importe la valeur de n, tandis que la notation $[| 0 ; n |]$ (écrite un peu mieux) fait référence à l’ensemble des entiers compris entre 0 et n. Néanmoins si l’énonce est tel quel, alors on fera avec.

a) Donner l’expression de la fonction de répartition.

Déjà, ici, est-ce que ma fonction de répartition sera ${F_{{M_n}}}(x) = \int\limits_0^x {\frac{{dt}}{\theta }} = \frac{x}{\theta }$ vu que c’est défini comme le max donc une seule variable aléatoire ou bien est-ce ${F_{{M_n}}}(x) = {(\int\limits_0^x {\frac{{dt}}{\theta }} )^n} = {(\frac{x}{\theta })^n}$ car on a $n$ variables aléatoires indépendantes?

Il ne s’agit pas de savoir si c’est une seule variable aléatoire ou si c’en est n pour répondre à la question. Oui, la variable $M$ est définie comme le maximum de plusieurs fonctions, $M = f(X1... Xn)$ donc $M$ est une variable aléatoire, point. Ce n’est pas une loi classique donc a priori tu ne sais pour l’instant rien d’elle donc tu ignores encore la fonction de répartition, qui ne peut pas sortir du chapeau.

Comme pour toute variable aléatoire, la première chose à faire est de définir l’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre, et seulement ensuite de chercher à définir $P(M< x) $ en se servant de la définition de $M$. Je te laisse avec ça.

EDIT : blo yhg a écrit plus rapidement (et a bien compris ce que j’avais mal écrit, je le remercie pour avoir mieux noté en TeX ce que je voulais dire), j’écris quand même, na.

Ah oui, j’avais lu la partie a) beaucoup trop vite, j’avais pas vu que c’était une question.