Orbite circulaire - Energies

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour,

Je viens de lire dans un corrigé que dans le cas d’une orbite circulaire d’un satellite (ou d’un caillou…), on avait comme relation:

$E_{tot} = - E_{cin}$

Est-ce que quelqu’un pourrait m’expliquer ?

Au passage, si vous pouviez aussi me re expliquer comment on détermine l’énergie potentielle d’un objet en orbite, je pense ne pas très bien avoir compris.. J’ai la formule, mais je n’arrive pas à comprendre comment on la retrouve. (j’ai dans mon cours que ça correspond au travail pour amener l’objet de l’infini a son rayon d’orbite)

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Salut,

Note que tout ce que je vais dire est valable uniquement dans le cas des orbites circulaires pour un satellite de masse $m$ négligeable devant celle de la planète $M$.

D’abord le plus facile, l’énergie cinétique. Si on considère une vitesse de rotation constante sur un rayon $r_0$ constant, la somme des forces dans le repère en rotation doit juste compenser l’accélération centripète, ce qui donne

$$\dfrac{v^2}{r_0}=\dfrac{GM}{r_0^2}.$$

L’énergie cinétique est donc

$$E_c = \dfrac 12mv^2 = \dfrac{GmM}{2r_0}.$$

Pour l’énergie potentielle, le problème est toujours le même : il faut choisir un point de référence où l’on pose que l’énergie potentielle est nulle par convention. Dans le cas des orbites, la convention (choisie pour des raisons pratique) est de dire que l’énergie potentielle est nulle à l’infini du corps autour duquel on orbite. De fait, calculer l’énergie potentielle revient à calculer le travail de la force de gravitation exercée par le corps autour duquel on orbite entre l’infini et le rayon d’orbite. Ce qui donne ici :

$$E_p = \int _{\infty}^{r_0}\dfrac{GmM}{r^2}\mathrm dr = -\dfrac{GmM}{r_0}.$$

Note que si l’on se place près de la surface de la planète en $r_0=R+z$ avec $z\ll R$, on a $E_p=-\dfrac{GmM}{z+R}\sim\dfrac{GmM}{R^2}(z-R)$ (avec un DL). Si on choisi de travailler avec une énergie potentielle $E_p'$ telle que $E_p'=0$ en $z=0$, on tombe bien sur $E_p'=E_p+\dfrac{GmM}{R}=mgz$, que l’on peut aussi obtenir en intégrant le travail du poids entre la surface et l’altitude $z$, en considérant $g$ constant (ce qui est équivalent à considérer $z\ll R$).

Finalement, pour revenir à ta toute première question, l’énergie totale vaut

$$E_t=E_p+E_c = -\dfrac{GmM}{2r_0} = -E_c.$$
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Merci Adri1. Ca c’est une réponse vraiment excellente, en tout cas j’ai absolument tout compris et ça m’a bien clarifié !!

Surtout l’aide avec le DL, je n’y aurai jamais pensé !

Et j’ai fait les calculs à la main, j’en ai déduis que $g = \frac{G*M_t}{R^2}$, ce qui s’est avéré juste en faisant le calcul avec ma calculatrice.. Comme quoi on apprend des trucs tout les jours !

Vraiment, tu m’as bien aidé. C’est exactement les explications que je cherchais.

Du coup j’ai une autre question, même si le sujet est résolu, comment a t-on déterminer la valeur de G et de $M_t$ ?

Merci encore…

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Content d’avoir été utile !

Pour $G$ et $M$, ce n’est effectivement pas trivial.

Il est "facile" de mesurer $g$ (il "suffit" de mesurer le temps que met un objet pour tomber, aujourd’hui on utilise un système (GRACE) de deux satellites couplés pour accéder au potentiel de pesanteur). Une fois qu’on a $g$, qui vaut effectivement $\dfrac{GM}{R^2}$, (ce qu’on peut déduire avec la définition du poids d’ailleurs), il faut arriver à mesurer soit $G$, soit $M$ pour obtenir l’autre (sachant que $R$ (et la forme de la Terre de manière générale) est connu relativement bien depuis assez longtemps grâce aux efforts de cartographie).

La première mesure historique est celle de Cavendish qui utilise une balance de torsion pour mesurer $M$ (plus exactement, Cavendish s’en est servi pour mesurer la densité de la Terre, mais comme $R$ est connu, c’est équivalent). Tu peux voir l’article sur la constante de gravitation pour des pistes sur les façons modernes de mesurer $G$.

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