Je me cite méchamment (je donne des séances d’exercices sur le sujet, par contre, je suis désolé pour les matheux, parce que c’est pas rigoureux pour deux sous):
Si une équation différentielle linéaire [de la forme $a(x)\,y'+b(x)\,y=f(x)$] n’est ni exacte ni homogène, alors il est possible de la résoudre en utilisant 2 méthodes :
- Méthode de la variation des constantes: après avoir résolu le cas homogène en posant $f(x)=0$ et obtenu la solution générale, pour rappel
$$y=\exp{\left[-\int \frac{b(x)}{a(x)}\,dx\right]},$$
on fait varier la constante en recherchant $y'$, et en déterminant la valeur de la constante (cette fois en considérant l’expression complète).
- Méthode du facteur intégrant: on cherche à mettre l’équation sous une forme linéaire exacte. Pour ça, on réécris l’équation différentielle sous la forme
$$ y' + P(x)\,y = Q(x) \text{ avec } P(x) = \frac{b(x)}{a(x)} \text{ et } Q(x) = \frac{f(x)}{a(x)},$$
puis on recherche $h(x)$ tel que
$$\frac{dh(x)}{dx} = h(x)\,P(x) \hspace{.5cm}\Leftrightarrow\hspace{.5cm} h(x) = \exp{\left[\int P(x)\,dx\right]},$$
ce qui permet d’obtenir le facteur intégrant, $h(x)$, via la solution de l’intégration. On multiplie alors les termes de l’équation différentielle par ce facteur pour obtenir une équation linéaire exacte, dont la solution générale s’écrit alors
$$y = \frac{1}{h(x)} \int h(x)\,Q(x)\,dx.$$
Par exemple, soit l’équation différentielle suivante dont on cherche à connaître la solution générale:
$$y'-2y=x^2\,e^{2x}.$$
Par la méthode de variation des constantes. On commence par résoudre le cas homogène en posant que $f(x)=0$, soit,
$$\begin{align*}
&y'-2y =0 &\Leftrightarrow\hspace{.5cm}& y = \exp{\left[-\int -2\,dx\right]} \\
&&\Leftrightarrow\hspace{.5cm}& y = K\,e^{2x}.
\end{align*}$$
On cherche ensuite la dérivée de la fonction pour faire varier la constante (ici $K$):
$$\begin{align*}
y'= \frac{dK}{dx}\,e^{2x}+2K\,e^{2x},
\end{align*}$$
puis on réintroduit le tout dans l’équation de départ (en remplaçant $y$ et $y'$ par ce qu’on vient de trouver) et on résout:
$$\begin{align*}
&y'-2y =x^2\,e^{2x} &\Leftrightarrow\hspace{.5cm}& \frac{dK}{dx}\,e^{2x}+2K\,e^{2x} - 2K\,e^{2x} = x^2\,e^{2x} \\
&&\Leftrightarrow\hspace{.5cm}& \frac{dK}{dx}\,e^{2x} = x^2\,e^{2x} \\
&&\Leftrightarrow\hspace{.5cm}& \int dK = \int x^2\,dx \\
&&\Leftrightarrow\hspace{.5cm}& K = \frac{x^3}{3} + C.
\end{align*}$$
À noter qu’une simplification doit toujours apparaître dans le processus, comme c’est le cas de la première à la deuxième ligne. Finalement, on réintroduit la valeur de la constante $K$ dans la solution générale obtenue à partir de l’équation homogène:
$$y = K\,e^{2x} \hspace{.5cm}\Rightarrow\hspace{.5cm} y =\frac{x^3}{3}\,e^{2x}+C\,e^{2x}.$$
Par la méthode du facteur intégrant. Cette équation est déjà sous la forme $y'+P(x)\,y=Q(x)$. On commence donc par chercher le facteur permettant de rendre l’équation exacte
$$h(x) = \exp{\left[-2\,\int dx\right]} \hspace{.5cm}\Leftrightarrow\hspace{.5cm} h(x) = e^{-2x}$$
On multuiplie les termes de l’équation de départ par $h(x)$,
$$h(x)\times [y'-2y]=h(x)\times[x^2\,e^{2x}] \hspace{.5cm}\Leftrightarrow\hspace{.5cm} e^{-2x}\,y' -2\,e^{-2x}\,y = x^2.$$
Cette équation est belle et bien exacte, puisque,
$$\frac{da(x)}{dx} = \frac{d}{dx}[e^{-2x}] = -2\,e^{-2x} = b(x),$$
et dès lors, la solution est donnée par
$$y=\frac{1}{e^{-2x}}\,\int x^2\,dx \hspace{.5cm}\Leftrightarrow\hspace{.5cm} y=e^{2x}\,\left[\frac{x^3}{3}+C\right].$$
Ce qui, après multiplication, nous donne bien la même réponse que précédemment.
(il existe une version pour les ED du second ordre).