Théorème de composition des limites

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour, j’ai trouvé une preuve du théorème de composition des limites qui m’intéresse mais j’ai trois questions :

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  • Pourquoi prendre $\displaystyle \lim_{y\to b} g(x) = g(b)$ et pas simplement $\displaystyle \lim_{y\to b} g(x) = l \in \mathbb R \cup \{- \infty, + \infty\}$?

  • Pourquoi indiquer que la distance entre x et a est positive?

  • Cette preuve permet-elle une généralisation dans le cas où a (ou bien b) est un extremum de $\overline{\mathbb{R}}$? Dans mon cours il est écrit qu’un voisinage de $+\infty$ (resp. $- \infty$) est l’ensemble $V = [A, + \infty[$ (resp. $]-\infty, A]$) avec A réel. Donc l’écriture $|x - a| \leqslant N_2$ pour dire que x est au voisinage de $a = +\infty$ ou $-\infty$ ne me semble pas adaptée… :-°

Merci d’avance, je regarderai cela demain. :-)

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  • Parce que si $g(b)$ n’est pas fini, tu n’as pas $|g(y)-g(b)|\leq \epsilon$.
  • Pas d’importance essentielle. Dans le cas présent, l’auteur doit probablement considérer des voisinages épointés de $a$. Mais tu peux oublier ce détail.
  • Non, du moins pas directement.
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Merci pour ta réponse, mais si tu peux éclairer le premier point, ça serait cool. Je comprends le second point bien que j’ai du mal à saisir l’intérêt de considérer des voisinages épointés dans la preuve, je ne préfère pas entrer dans les détails. Quant au troisième point, est-ce qu’une généralisation serait une lourde tâche (compliquée) ou c’est faisable avec des outils simples?

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Quant au troisième point, est-ce qu’une généralisation serait une lourde tâche (compliquée) ou c’est faisable avec des outils simples?

Ozmox

Il me semble avoir trouvé quelque chose, j’avais vu une démonstration similaire sur un site mais je n’arrive pas à retrouvé le lien… :-(

Pour $f : A \rightarrow \mathbb R$ et $g : B \rightarrow \mathbb R$ où $f(A) \subset B$. Soient $a \in \overline{A}$, $b \in \overline{B}$ et $l \in \overline{\mathbb{R}}$.

On veux montrer la proposition suivante : $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = b$ $\text{et}$ $\displaystyle \lim_{x\to b} g(x) = l \implies \displaystyle \lim_{x\to a} g(f(x)) = l$.

Les deux hypothèses nous permettent d’écrire que pour $V_a, V_b, V_l$ des voisinages respectifs de $a, b$ et $l$ :

$\forall V_b, \exists V_a, \forall x \in A, (x \in V_a \implies f(x) \in V_b)$ et $\forall V_l, \exists V_b, \forall x \in B, (x \in V_b \implies g(x) \in V_l)$.

D’où par abus, $x \in V_a \implies f(x) \in V_b \implies g(f(x)) \in V_l$.

De ce fait, $\forall V_l, \exists V_a, \forall x \in A, (x \in V_a \implies g(f(x)) \in V_b) \equiv \displaystyle \lim_{x\to a} g(f(x)) = l$.

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Le fait de prendre la limite de g(y) égale a g(b) quand y tends vers b est juste la transcription mathématique de la phrase "g est continue en b" et permet donc d’utiliser la définition de la continuité à la première ligne de la démonstration.

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Le fait de prendre la limite de g(y) égale a g(b) quand y tends vers b est juste la transcription mathématique de la phrase "g est continue en b" et permet donc d’utiliser la définition de la continuité à la première ligne de la démonstration.

Würtz

Ok pour ton explication. Mais que veux dire dans les propos d’holosmos "si g(b) n’est pas fini", veux-il dire que g n’est pas continue en b?

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