Dérivée d'un radical n-ième

Yop !

C’est juste un raccourci qui évite d’écrire $\displaystyle x\mapsto\sqrt[n]{x}$. En soi $\displaystyle\left(\sqrt[n]{x}\right)'=0$, étant donné que tu "dérives" un réel

Regarde bien, l’existence ne suffit pas, il te faut aussi aussi pour que ta fonction réciproque soit dérivable en $a$ que la dérivée de ta fonction ne s’annule pas en $a$, par exemple, $\sqrt{\phantom{1}}$ n’est pas dérivable en $0$ puisque la dérivée de $\displaystyle x\mapsto x^2$ en $0$ est nulle (en plus tu l’as dit toi-même :p). Or la dérivée de $\displaystyle t\mapsto t^n$ s’annule en $0$, tu ne pourras donc la dériver que sur $\displaystyle\mathbb{R}_+^*$. Sinon, c’est assez marrant de voir la fonction réciproque comme cela (la fonction qui à $\displaystyle t^n$ associe $t$). J’aurai plutôt pensé à la fonction qui à $t$ associe $\displaystyle\sqrt[n]{t}$. Parce que si tu résous l’équation d’inconnue $x$ avec $\displaystyle y\in\mathbb{R}_+$:

Alors tu vas bien tomber sur $x=\sqrt[n]{y}$ par définition (enfin, je crois, personnellement on m’a défini $\sqrt[3]{\cdot}$ sur $\displaystyle\mathbb{R}_+$ afin de pouvoir définir $\displaystyle\sqrt[n]{\cdot}$ pour tout $n$). Dans ce cas, ta fonction réciproque s’écrit $f^{-1}:t\mapsto\sqrt[n]{t}$, et le théorème de la bijection te dit bien qu’elle est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ en te donnant la formule.

PS : Si l’objectif est juste de trouver cette dérivée et pas d’utiliser le théorème de la bijection, je pense que tu te compliquerais moins la vie en posant $\displaystyle f:t\mapsto\exp(n\ln(t))$ et $\displaystyle f^{-1}:t\mapsto\exp\left(\frac{1}{n}\ln(t)\right)$

C’est le problème des raccourcis "implicites". Ici $\displaystyle\sqrt[n]{\cdot}$ désigne bien une fonction de la variable qu’on veut (techniquement, on désigne la même fonction par $\displaystyle \text{tarteauxpommes}\mapsto\sqrt[n]{\text{tarteauxpommes}}$), mais c’est juste que généralement, on utilise souvent $x$ ou $t$ en variable, et ce sont des conventions que l’on ne réexplicite pas. Sauf que là, forcément, on a deux variables, impossible donc de savoir de laquelle on parle. Si tu préfères, une affirmation plus correcte donnerait :

Soit $\displaystyle n\in\mathbb{N}^*$. On sait que $\displaystyle f:t\mapsto t^n$ est dérivable sur $\displaystyle\mathbb{R}_+^*$ de dérivée $\displaystyle f':t\mapsto nt^{n-1}$, qui ne s’y annule pas. Dès lors, d’après le théorème de la bijection (flemme de montrer qu’elle y est bijective par contre, mais ça se fait facilement :p), sa fonction réciproque $\displaystyle f^{-1}$ est dérivable pour tout $\displaystyle x\in\mathbb{R}_+^*$ en $\displaystyle y=f(x)=x^n$ et :

En fait, dans la preuve, l’introduction de $\displaystyle x=f^{-1}(t)$ sert juste d’intermédiaire de calcul et est tout à fait dispensable, d’autant plus que cela embrouille les esprits (je n’arrive pas à me décider si oui ou non il y a une erreur dans la preuve, puisque $\displaystyle\sqrt[n]{\cdot}$ est dérivable en $\displaystyle x^n$ et non pas en $\displaystyle\sqrt[n]{x}$, mais avec cette manière de rédiger, je doute… Bien que je pencherais tout de même plus sur une erreur dans la preuve).