Notion de topologie

Salut

Dans l’approche d’un partiel sur les fonctions à plusieurs variables, j’ai quelques question sur le premier chapitre concernant quelques notions de topologies.

Voilà par exemple un exercice où je bloque : Le sous ensemble de $ \mathbb R^2 $ suivant est-il ouvert? fermé? compact ?

1) $\mathcal A = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 : x^2 - \sin(y) \leq 4 \} $

J’imagine bien qu’il faut utiliser l’image réciproque de A car $ x^2 - \sin(y) $ est continue sur $\mathbb R^2 $ mais je n’arrive pas bien à saisir comment procéder.

La question n’est pas posée ici mais si je dois déterminer l’adhérence et l’intérieur de A. Dois-je les déterminer avec des suites ou il existe d’autre méthode ?

Merci d’avance,

L’image réciproque par une application continue d’un fermé est-elle fermée ?

Oui c’est cette proposition que j’essaie d’utiliser sauf que j’arrive pas à me convaincre que $f^-1 (A) $ est fermé :/

Est-ce que l’image réciproque d’un ouvert est ouverte ?

Est-ce que l’image réciproque d’un complémentaire est le complémentaire de l’image réciproque ?

Est-ce que $]-\infty,4]$ est fermé ?

Oui l’image réciproque d’un ouvert est ouverte. Oui également pour ta deuxième proposition. Pour ce qui est de la troisième je serai tenté de dire que oui c’est un fermé car son complémentaire est un ouvert.

En fait je viens d’avoir un déclic je crois, est ce que le complémentaire de ]-infini,4] est ]4,+infini[ ??

En fait je viens d’avoir un déclic je crois, est ce que le complémentaire de ]-infini,4] est ]4,+infini[ ??

À ton avis ?

C’était pour être sur merci

Maintenant dites moi si je me trompes, mais on a : l’intérieur de A est qui est égale à A, et l’adhérence de A = ]-infini,4[ ?

Et Est-ce vrai de dire que la frontière est égale à 4 du coup ?

C’est quoi l’intérieur ? l’adhérence ?

L’intérieur c’est le plus grand ouvert inclus dans E et l’adhérence est le plus petit fermé contenant E. La frontière est définie comme l’adhérence privé de l’intérieur. Du coup avec ces définitions je trouve bien que l’intérieur de A égale à ]-infini,4[  et que l’adhérence est A lui même.

Non. $A$ c’est l’image réciproque de $]-\infty,4]$, ce n’est pas cet ensemble.

Comment je retrouve l’ensemble A? j’avoue ne pas savoir …

Comment ça retrouver ?

Bah pour déterminer l’adhérence et l’intérieur de A comment je fait ? Toute seule mes réponses étaient erronées non?

Le problème de tes réponses c’est que tu donnais l’intérieur et l’adhérence de $]-\infty,4]$. Maintenant pour revenir à $A$ il faut prendre l’image réciproque en vérifiant la compatibilité.