Qu'est-ce qu'une dérivée ?

Si on prend une fonction continue

Fonction dérivable.

Y a beaucoup trop de guillemets (qui ne sont même pas les chevrons français règlementaires). Leur usage est réservé à des expressions qui sont des citations ou des mots sans sens à priori. Pour des termes techniques ou à mettre en valeur, il faut préférer l’italique.

Mais nous, on veut la pente "ici", et juste "ici". Comment faire ? On va prendre un point un peu plus près ("plus pres"). On va refaire la même opération, mais cette fois en utilisant les points "ici", et "plus pres".

Vous avez compris, on va refaire la même chose plein de fois. A chaque fois, on aura un point plus près de "ici", mais aussi une pente qui se rapproche de la pente "ici". Après, on va faire ce que l’on appelle en mathématiques une limite : on continue le procédé jusqu’à ce que "plus pres" soit exactement "ici". On aura alors la pente "ici". On a fait ce que l’on appelle "la limite quand ’plus pres’ tend vers ’ici’".

Ça typiquement c’est très pénible à lire.

D’ailleurs tu t’es trompé dans l’approche des limites. Tu n’as considéré que la limite à droite.

Honnêtement on y comprend pas grand chose. Tu n’explique pas les notations, c’est illisible et on a la sensation que tu tournes autour du pot pour dire des choses incomplètes.

. La limite du taux d’accroissement est donc une droite qui est la fameuse "pente locale"

Une droite n’est pas une pente.

pour tout point de coordonnées (x,f′(x)) de f′, f′(x) est la valeur de la dérivée de f au point (x,f(x))

C’est .... douloureux.

Visiblement tu n’as pas assez de recul sur cette notion. C’est gênant dès lors que tu cherches à exprimer des notions mathématiques. Peut-être qu’il est trop tôt pour toi de rédiger cette partie.

Je rappelle que cet article a pour vocation d’être de la vulgarisation.

Si je dis fonction dérivable, je devrai expliquer ce qu’est qu’une fonction dérivable. Sinon, je met ça sous le tapis. Sinon, je dis rien du tout.

Concernant les limites à droite, je sais très bien que je n’ai pas parlé de limite à gauche. Je pense l’ajouter. Mais si je commence à trop parler à ce propos, il y aura inévitablement pourquoi on fait la limite à gauche et à droite ? Parce que c’est pas forcément la même ? Pourquoi ? Et là on s’éloigne franchement du contenu original.

"Visiblement tu n’as pas assez de recul sur cette notion. C’est gênant dès lors que tu cherches à exprimer des notions mathématiques. Peut-être qu’il est trop tôt pour toi de rédiger cette partie. "

Il ne s’agit pas de ça. C’est simplement que quand on cherche à expliquer avec des mots simples, on néglige des choses qui ne sont pas importantes pour le mec lambda mais qui le sont pour le puriste, et que ce n’est pas simple de faire le tri entre ce qui est important ou pas (mais je me suis quand même planté lamentablement sur certains points). A ce rythme là, il faut aller crier sur tous les profs de terminale parce qu’ils parlent de limite à tout va alors que l’on ne vérifie jamais que les limites en question existent.

Bonjour les agrumes !

La bêta a été mise à jour et décante sa pulpe à l’adresse suivante :

Merci d’avance pour vos commentaires.

Oublis les mots en italique, c’est très gênant à lire. Si tu veux t’en tenir à la vulgarisation, explique que si tu prend une corde qui relie deux points $x$ et $z$ très éloignés du graphe de $f$, tu n’aura pas une indication précise de son sens de variation : il faut rapprocher $z$ de $x$. Cas typique :

Alors, ta corde a une position limite T : il s’agit de la tangente, son coefficient directeur est la dérivée en $x$ de $f$.

Il s’agit en fait de prendre le taux d’accroissement de cette corde : $\frac{f(a) - f(x)}{a - x}$ et de faire tendre x vers a : tu as ton nombre dérivée en $x$. Cela te donne une indication du sens de f au voisinage de x.

Bonjour !

Tout d’abord, merci pour l’article/tutoriel.

J’ai mis trop de temps à commenter et une partie entière a été ajoutée entre-temps. Je vais donc commencer par la première version de l’article (que je préfère, j’expliquerai plus loin pourquoi). Je l’ai trouvée agréable à lire et claire. L’exemple du vélo permet de mieux visualiser la notion. Le fait que le texte soit court est plutôt positif à mes yeux, surtout dans un but de vulgarisation : on n’a pas le temps de dévier de l’idée principale du texte, qui a donc plus de chances d’être comprise/retenue.

Maintenant, vient la toute nouvelle partie sur le taux d’accroissement. Là je ne comprends plus trop : est-ce que l’objectif est toujours de vulgariser ? Parce que cette partie-là est vraiment plus difficile à comprendre. D’abord, il y a beaucoup de vocabulaire qui arrive : taux d’accroissement, fonction continue, limite, ainsi que des symboles qui ne font pas partie du bagage courant en maths : "lim", les flèches qui vont avec, et même le symbole tau. De l’autre côté, il y a les "ici", "un peu" et "un tout petit peu", qui m’embrouillent plus qu’autre chose (je précise tout de même que j’ai l’habitude de manipuler des équations, qui sont donc beaucoup plus claires pour moi : de ce point de vue, je ne suis pas dans le public-cible). Enfin, la figure avec toutes les droites pourrait être plus lisible (une animation serait encore mieux).

Je pense donc qu’il te faut choisir : soit garder la vulgarisation et enlever cette partie-là, soit prendre le parti de faire un véritable tutoriel et donc développer davantage en introduisant une à une toutes les notions dont tu te sers.

Voilà pour mon avis, tu en fais bien sûr ce que tu veux.

Il ne s’agit pas de ça. C’est simplement que quand on cherche à expliquer avec des mots simples, on néglige des choses qui ne sont pas importantes pour le mec lambda mais qui le sont pour le puriste, et que ce n’est pas simple de faire le tri entre ce qui est important ou pas (mais je me suis quand même planté lamentablement sur certains points).

Ce n’est pas une question d’être puriste ou pas. En l’occurrence tu dis des choses fausses d’une manière floue.

Si tu ne veux pas parler de fonction dérivable, alors ne parle pas non plus de fonction continue. Mais ne dit pas qu’en prenant une fonction continue on peut faire de la dérivation alors que ça n’est pas le cas.

A ce rythme là, il faut aller crier sur tous les profs de terminale parce qu’ils parlent de limite à tout va alors que l’on ne vérifie jamais que les limites en question existent.

Bah si, ils le vérifient puisqu’ils font le calcul.

En fait, j’ai utilisé une méthode qui fonctionne bien à l’oral, mais pas à l’écrit. Je vais revoir tout ça, en effet.

Bah si, ils le vérifient puisqu’ils font le calcul.

Non, ils l’utilisent sans vérifier qu’ils ont bien le droit de le faire

Bon, j’ai fait le ménage. C’est un peu plus théorique, je pense, mais pas pour autant inaccessible. J’ai peut-être oublié des trucs par-ci par-là, mais je pense que dans l’ensemble c’est plus clair.

Merci d’avance pour vos commentaires.

On va rapprocher tellement x de a qu’ils seront confondus. On a alors la pente p en a. La pente p est la limite du taux d’accroissement quand x tend vers a :

C’est incompréhensible pour quelqu’un qui ne sait pas ce qu’est une limite. Et c’est faux pour ceux qui savent ce que c’est.

Là, on a tout fait avec x>a. On dit que l’on a fait la limite à droite. En effet, le point que l’on a fait bouger pour faire la limite (X) est à droite du point qui nous intéressait (A).

Ça vient comme un cheveu sur la soupe. On ne sait pas quoi en faire.

Maintenant, comment obtenir la dérivée toute entière d’une fonction ?

Mal dit.

Une caractérisation de la dérivabilité est la suivante :

Cette caractérisation n’est pas intéressante. Tu es en train de dire qu’une fonction dérivable l’est si elle est dérivable.

Le gros souci actuellement c’est que tu manipules des limites sans que ça soit clair pour le lecteur novice ou le lecteur expérimenté.

On va rapprocher tellement x de a qu’ils seront confondus.

J’insiste dessus : c’est faux. Tout simplement parce que $x-a$ serait nul et que dans ce contexte on n’a pas de moyens pour diviser par zéro sans créer de conflits.

La quantité

est un nombre réel dont l’existence est déterminée par le germe de $f$ en $a$, et non seulement sa valeur en $a$.

On ne va certainement pas confondre $x$ et $a$ pour calculer cette chose. C’est la notion de germe qui est conceptuellement essentielle (c’est ce que les physiciens appellent variations infinitésimales).

Sans entrer dans le détail mathématique de ce qu’est un germe, on peut expliquer analytiquement ce qu’est la limite du taux d’accroissement (lorsqu’elle existe). Par exemple en montrant que l’on peut encadrer le taux d’accroissement en bornant $x$ dans un intervalle contenant strictement $a$, et qu’en réduisant cet intervalle on a convergence vers une valeur d’adhérence, qui est précisément la limite.

Le gros souci actuellement c’est que tu manipules des limites sans que ça soit clair pour le lecteur novice ou le lecteur expérimenté.

C’est exactement ce pourquoi je ne voulais pas parler du taux d’accroissement au début. Des suggestions de manières d’expliquer histoire d’avancer un peu ? Ce serait plus constructif que de parler de choses qui n’ont pas leur place ici, non ?

Ce serait plus constructif que de parler de choses qui n’ont pas leur place ici, non ?

Critiquer ton texte sur le fond et la forme afin d’en souligner les améliorations possibles, c’est constructif. C’est même le premier but d’une bêta.

C’est exactement ce pourquoi je ne voulais pas parler du taux d’accroissement au début.

Il faudrait que tu précises ce que tu veux faire dans ton article.

Ton point de départ c’est de parler de dérivation. La remarque qui a fait que tu as été amené à parler de taux d’accroissement, c’est qu’à aucun moment tu n’avais expliqué ce qu’est une dérivée en dehors du cas d’une droite.

Critiquer ton texte sur le fond et la forme afin d’en souligner les améliorations possibles, c’est constructif.

Je ne parlais bien évidemment pas de ça, mais de l’étalage de culture avec les germes, etc… Et comme j’ai l’impression que vous évitez soigneusement de parler d’une manière d’expliquer les dérivées. Je n’ai plus qu’à vous souhaiter une bonne année, une bonne santé, et un joyeux noël. Ce fut presque un plaisir de discuter avec vous.

Bye