Fonction propre et orthogonalité

Bonjour,

Je ne comprends pas très bien déjà ce qu’est qu’une fonction propre et encore moins comment deux fonctions peuvent être orthogonales. Par exemple, dans un de mes exercices de quantique, on me demande de montrer que les fonctions propres pour le modèle de la "particule dans une boite" sont orthonormales. J’ai vu en cours qu’il suffit de montrer que$\int\limits_0^L {{\psi _m}(x)\psi _n^*(x)dx = {\delta _{nm}}} $ où $\delta _{nm} = 1$ si $n=m$ et 0 sinon.

J’arrive facilement à le montrer mais je comprends pas ce que ça signifie vraiment en pratique. Il y a-t-il un moyen de le visualiser ?

Merci !

Salut !

Je ne connais pas grand chose au sujet, mais voyant que personne ne répond je vais essayer de donner quelques indications.

$\int\limits_0^L {{\psi _m}(x)\psi _n^*(x)dx}$ est un produit scalaire hermitien de 2 fonctions complexes. Dans l’idée, c’est une généralisation du produit scalaire (qui est à valeurs réelles) aux complexes. Pour te représenter les choses, pense-le donc comme un produit scalaire.

Avec un produit scalaire, pour montrer qu’une base $(e_1,...e_n)$ est orthonormée, on montre que tous les $e_i$ sont orthogonaux (càd que $e_i\cdot e_j= 0 , j\neq i$) et que leur norme ( $|e_i| = \sqrt{e_i\cdot e_i}$ ) vaut 1. D’où ce que tu dois montrer.

En espérant avoir aidé un peu…

Il s’agit bel et bien d’un produit scalaire, dans un espace un peu bizarre (l’espace d’Hilbert). Celui-ci provient du fait que tes fonctions propres sont en quelques sortes les vecteurs propres de ton opérateur, probablement l’hamiltonien dans ton cas (qui est hermitien, toussa toussa). Ça défini une base, comme l’as dit luxera, et ensuite, tout vecteur exprimé dans cette base est une combinaison linéaire de ces vecteurs propres. Ça, c’est pour les maths.

Chimiquement (ou physiquement) maintenant, faut te rappeler que l’intégrale du carré de la fonction d’onde sur un certain intervalle de l’espace te donne la probabilité de trouver la particule dans un état donné (décris par une fonction d’onde $\Psi_i$) dans cet zone de l’espace. Si t’intègre sur tout l’espace, ta probabilité est d’exactement 1. Or, quelle est la probabilité qu’une particule donnée ce trouve en même temps dans deux états différents (décris par deux fonctions d’ondes différentes, $\Psi_i$ et $\Psi_j$) ? Nulle, non ?

Il y a-t-il un moyen de le visualiser ?

Difficile question. Vu que l’espace de Hilbert en question est de dimension infinie, il est difficile de faire des dessins ou même de se ramener à un dessin en dimension finie (puisque des phénomènes étranges apparaissent quand on n’est plus en dimension finie).

En revanche, et c’est peut-être là tout l’intérêt géométrique, l’orthogonalité est un concept phare auquel tu peux te raccrocher pour comprendre la géométrie de ton espace.

L’opérateur hamiltonien que tu considères admets des fonctions propres (tout comme dans le cas en dimension finie). Mais ce qui est intéressant, c’est que les propriétés du hamiltonien te montrent que ces fonctions propres sont mêmes orthogonales.

Géométriquement, c’est une notion plus forte que l’indépendance linéaire. On peut comprendre le produit hermitien comme une manière de projeter des vecteurs (ou fonctions ici) l’un sur l’autre. L’orthogonalité devient alors une manière d’exprimer que deux fonctions n’ont « rien à voir entre-elles » puisque même si tu en projettes une sur une autre (différente) alors tu obtiens $0$.

Pourquoi c’est plus fort que l’indépendance linéaire ? Eh bien si tu as $e_1,e_2$ linéairement indépendants, alors c’est aussi le cas de $e_1$ et $e_1+e_2$. Mais l’orthogonalité dans le premier cas ne te donne pas l’orthogonalité dans le second. Avoir des vecteurs orthogonaux, c’est donc avoir une décomposition bien plus forte de ton espace que seulement en termes de vecteurs linéairement indépendants.