Calculer une limite à droite et à gauche

Bonjour, soit la fonction $y : x \rightarrow \frac{x^2-2x}{x^2-1}$.

J’aimerais calculer la limite de cette fonction à droite et à gauche de $-1$, graphiquement j’observe que $\displaystyle \lim_{x \to -1^-} y(x) = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to -1^+} y(x) = -\infty$ mais je n’arrive pas à différentier les deux par calcul.

Merci d’avance.

Si x < -1 alors la fonction est strictement positive. Si x > -1 il y a plusieurs cas selon si x se trouve entre -1 et 0, 0 et 1 ou 1 et $+\infty$ soit négative, positive, négative, positive.

Donc lorsque tu calcules la limite à droite, quel est le signe de ta fonction ? Lorsque tu calcules la limite à gauche, quel est son signe ? Ça devrait te permettre de différencier les deux cas.

D’accord alors lorsque je calcule ma limite à droite, ma fonction est négative (en fait, j’étudie y sur $]-1, 1[$) donc $x^2 - 1$ tend vers $0^-$ et y vers $-\infty$, c’est ça (et inversement pour la limite à gauche)?

C’est bien ça.

D’accord.

Une autre question un peu HS : est-ce que relever le point d’inflexion en 0 peut être une autre manière d’étudier l’allure du graphe de $y$ sur $]-1 , 1[$?

Quand tu demandes : " est-ce que relever le point d’inflexion en 0 peut être une autre manière d’étudier l’allure du graphe de y sur ]−1,1[ ? " , j’ai très envie de répondre non.

Puisque tu dis que ce serait une autre manière d’étudier …, c’est que tu veux utiliser cela pour remplacer les outils de base. Et là, je ne suis pas d’accord.

Pour étudier la courbe sur ]-1,1[, tu as besoin des outils de base (calcul de la dérivée, sens de variation). Et tu peux compléter cela (compléter et non remplacer) par une recherche des points d’inflexion.

Est-ce que relever le point d’inflexion permet de compléter l’étude de l’allure du graphe sur ]-1,1[ : oui.

Est-ce que relever le point d’inflexion en 0 peut être une autre manière d’étudier l’allure du graphe de y sur ]−1,1[ : non.

Je reformule ma question : faut-il montrer qu’il y a un point d’inflexion en 0 pour décrire l’allure du graphe de $y$ entre -1 et 1 ou suffit-il d’observer que $\displaystyle \lim_{x \to 0} y(x) = 0$, après avoir relever les asymptotes?

C’est un exercice certes niveau lycée mais pas dans le cadre du lycée donc on peut se permettre d’un peu entrer dans les détails. En effet, je trouve plus intéressant de relever le point d’inflexion plutôt que y(0) = 0 (ou y(x) $\rightarrow$ 0 avec x). perso, j’ai aussi noté une asymptote horizontale, la droite d’équation x = 1 mais peut-être que je me suis trompé dans mes calculs.

Enfin inutile de vraiment aller plus loin, je pense qu’avec ça on observe une hyperbole à l’extérieur des racines du dénominateur et une courbe type fonction cube à l’intérieur des racines.

Oui, asymptote horizontale, bien sûr. Mais c’est la droite d’équation y=1, et non x=1.

Edit : au fur et à mesure de tes corrections, j’adapte : évite de parler d’hyperbole. Ca ressemble à une hyperbole, ça a le goût d’une hyperbole, mais ce n’est pas une hyperbole.

Oui y et pas x, erreur de frappe pardon.

Maintenant, la phrase que j’ai écrite en dessous c’est clairement par abus. Merci pour tes remarques!