Calculer une limite à droite et à gauche

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour, soit la fonction $y : x \rightarrow \frac{x^2-2x}{x^2-1}$.

J’aimerais calculer la limite de cette fonction à droite et à gauche de $-1$, graphiquement j’observe que $\displaystyle \lim_{x \to -1^-} y(x) = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to -1^+} y(x) = -\infty$ mais je n’arrive pas à différentier les deux par calcul.

Merci d’avance.

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Salut :)

Ton numérateur ne change pas selon que tu approches -1 par le haut ou par le bas et vaut tout le temps 3. Le signe vient donc du dénominateur. Tu peux étudier le signe de $x^2 - 1$ en fonction de si $x$ approche $-1$ par le haut ou par le bas. Normalement tu devrais trouver la réponse. :)

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D’accord alors lorsque je calcule ma limite à droite, ma fonction est négative (en fait, j’étudie y sur $]-1, 1[$) donc $x^2 - 1$ tend vers $0^-$ et y vers $-\infty$, c’est ça (et inversement pour la limite à gauche)?

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Salut!

Bien sûr :magicien:

Quand tu veux dessiner le graphe, les informations intéressantes sont les zéros de la fonction, les asymptotes verticales et horizontales, les trous, les zéros de la dérivée et les zéros de la dérivée seconde.

Avec toutes ces informations, tu peux tracer grossièrement le croquis de la fonction.

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Quand tu demandes : " est-ce que relever le point d’inflexion en 0 peut être une autre manière d’étudier l’allure du graphe de y sur ]−1,1[ ? " , j’ai très envie de répondre non.

Puisque tu dis que ce serait une autre manière d’étudier …, c’est que tu veux utiliser cela pour remplacer les outils de base. Et là, je ne suis pas d’accord.

Pour étudier la courbe sur ]-1,1[, tu as besoin des outils de base (calcul de la dérivée, sens de variation). Et tu peux compléter cela (compléter et non remplacer) par une recherche des points d’inflexion.

Est-ce que relever le point d’inflexion permet de compléter l’étude de l’allure du graphe sur ]-1,1[ : oui.

Est-ce que relever le point d’inflexion en 0 peut être une autre manière d’étudier l’allure du graphe de y sur ]−1,1[ : non.

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Je reformule ma question : faut-il montrer qu’il y a un point d’inflexion en 0 pour décrire l’allure du graphe de $y$ entre -1 et 1 ou suffit-il d’observer que $\displaystyle \lim_{x \to 0} y(x) = 0$, après avoir relever les asymptotes?

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A mon avis (mais la dernière fois que j’ai fait un exercice de maths, c’était il y a longtemps) :

  • Il faut parler des 2 asymptotes verticales

  • le fait que y(0) = 0 est anecdotique. Pire : comme on a forcément dit auparavant que y était définie et continue sur ]-1,1[ , on n’a aucune raison de dire que lim… = 0 , mais plutôt dire que y(0)= 0.

  • Si on veut parler du point (0,0), alors, oui, effectivement, la particularité de ce point qui vaut la peine d’être relevée, c’est que c’est un point d’inflexion de notre courbe (le seul point d’inflexion de notre courbe pour être précis).

Mais je ne connais pas assez les programmes de lycée pour dire si il faut relever cela, ou non.

C’est un exercice certes niveau lycée mais pas dans le cadre du lycée donc on peut se permettre d’un peu entrer dans les détails. En effet, je trouve plus intéressant de relever le point d’inflexion plutôt que y(0) = 0 (ou y(x) $\rightarrow$ 0 avec x). perso, j’ai aussi noté une asymptote horizontale, la droite d’équation x = 1 mais peut-être que je me suis trompé dans mes calculs.

Enfin inutile de vraiment aller plus loin, je pense qu’avec ça on observe une hyperbole à l’extérieur des racines du dénominateur et une courbe type fonction cube à l’intérieur des racines.

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Oui, asymptote horizontale, bien sûr. Mais c’est la droite d’équation y=1, et non x=1.

Edit : au fur et à mesure de tes corrections, j’adapte : évite de parler d’hyperbole. Ca ressemble à une hyperbole, ça a le goût d’une hyperbole, mais ce n’est pas une hyperbole.

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