Bien le bonjour, je viens encore abuser du haut niveau de math de ce forum 
Pour différentes raisons, je suis amené à m’intéresser à la moyenne isotropique, et de ce fait aux tenseurs isotropiques (donc qui ne changent pas sous l’action d’une rotation), et au produits de ceux-ci. Par exemple, le tenseur isotropique de rang 2 étant le delta de Kroneker lui même,
ce qui vaut 3 puisque je suis dans un espace à 3 dimensions. Bon, quand on par du principe que c’est écrit en somation d’Einstein, c’est assez logique, puisque le produit suivant n’est égal à 1 que si $i=j$.
Si on prend les tenseurs istotropiques indépendants de rang 4 (il y en a 3, $f_1=\delta_{ij}\delta_{kl}$, $f_2=\delta_{ik}\delta_{jl}$ et $f_3=\delta_{il}\delta_{jk}$), ben ça fait neuf produits à évaluer, par exemple,
ce qui fait 9 (puisque le produit de gauche vaut 1 si $i=j$ et $k=l$) et 3 (puisque le produit de droite vaut 1 si $i=jk=k=l$), respectivement, toujours dans un espace en trois dimension et en sommation d’Einstein. Et on peut continuer comme ça en l’écrivant sous forme d’une matrice 3x3.
Bon, je pourrait continuer comme ça longtemps, sachant par exemple qu’il y a 15 tenseurs isotropiques indépendants de rang 6, ce qui commence à faire long pour évaluer leurs produits à la main (même si la plupart sont équivalents).
Or je me suis rendu compte que ce que je faisais, c’était de calculer la contraction du (des) tenseur(s) en question, c’est à dire sa trace dans le cas du tenseurs isotopiques de rang 2. Sauf que j’ai définitivement un trou dans ma formation au niveau des tenseurs et que je vois pas comment formaliser ça, Wikipédia étant très évasif sur le sujet.
Existe-t-il une formule ou une méthode pour obtenir directement le tenseur contracté correspondant (sachant qu’il s’agit de delta de Kronecker, donc il doit bien y avoir des simplifications) ?
D’avance merci !
