Exprimer une variable en fonction d'une autre

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour,

J’aimerais essayer d’exprimer $x$ en fonction de $t$ de cette expression $kt = \frac{1}{{{b_0} - {a_0}}}\ln (\frac{{{a_0}({b_0} - x)}}{{{b_0}({a_0} - x)}})$ mais je galère un peu. Je trouve pas la même expression que ma calculatrice graphique. Y a-t-il un moyen simple de le faire ?

$$\to \frac{{({b_0} - x)}}{{({a_0} - x)}} = \frac{{{b_0}}}{{{a_0}}}\exp (({b_0} - {a_0})kt)$$
$$ \to x = \frac{{{b_0}(\exp (({b_0} - {a_0})kt) - 1)}}{{\frac{{{b_0}}}{{{a_0}}}\exp (({b_0} - {a_0})kt) - 1}}$$

Merci !

+0 -0

Salut,

On part de cette expression (qu’on obtient en prenant l’exponentielle de l’expression de départ)

$$ \frac{b_0 - x}{a_0 - x} = \frac{b_0}{a_0} \exp((b_0 - a_0)kt) $$

pour obtenir

$$ b_0 - x = b_0\exp((b_0 - a_0)kt) - \frac{x b_0}{a_0} \exp((b_0 - a_0)kt). $$

Et donc, en réunissant les $x$ du même côté

$$ x \left(-1 + \frac{b_0}{a_0} \exp((b_0 - a_0)kt)\right) = b_0(\exp((b_0 - a_0)kt) - 1). $$

D’où

$$ x = \frac{b_0(\exp((b_0 - a_0)kt) - 1)}{\frac{b_0}{a_0} \exp((b_0 - a_0)kt) - 1}. $$

Mène le calcul en étant concentré et en prenant ton temps.

+1 -0
$$kt = \frac1{b_0 - a_0}\ln \left(\frac{a_0(b_0 - x)}{b_0(a_0 - x)}\right)$$

Multiplions par $(b_0 - a_0)$ :

$$(b_0 - a_0) \times kt =\ln \left(\frac{a_0(b_0 - x)}{b_0(a_0 - x)}\right)$$

Elimination du logarithme néperien par un exponentiel :

$$e^{(b_0 - a_0)kt}=\frac{a_0(b_0 - x)}{b_0(a_0 - x)}$$

Multiplication par $\dfrac{b_0}{a_0}$ :

$$\frac{b_0}{a_0}e^{(b_0 - a_0)kt}=\frac{b_0 - x}{a_0 - x}$$

Multiplication par $(a_0 - x)$ :

$$(a_0 - x) \frac{b_0}{a_0}e^{(b_0 - a_0)kt}=b_0 - x$$

Développons $(a_0 - x)$ :

$$\left(\frac{b_0}{a_0}e^{(b_0 - a_0)kt}a_0\right) - \left(x\frac{b_0}{a_0}e^{(b_0 - a_0)kt}\right)=b_0 - x$$

Simplification du $\dfrac{a_0}{a_0}$

$$\left(b_0e^{(b_0 - a_0)kt}\right) - \left(\frac{xb_0}{a_0}e^{(b_0 - a_0)kt}\right)=b_0 - x$$

Additionnons le terme en $xb_0$ pour avoir tout les $x$ d’un coté :

$$b_0e^{(b_0 - a_0)kt} =b_0 - x+\frac{xb_0}{a_0}e^{(b_0 - a_0)kt}$$

On factorise $x$ dans le but de l’isoler :

$$b_0e^{(b_0 - a_0)kt} =b_0 + x\left(- 1+\frac{b_0}{a_0}e^{(b_0 - a_0)kt}\right)$$

Le terme $b_0$ fait tâche, on le soustrait :

$$b_0e^{(b_0 - a_0)kt} - b_0= x\left(- 1+\frac{b_0}{a_0}e^{(b_0 - a_0)kt}\right)$$

On factorise en $b_0$ à gauche histoire de faire propre :

$$b_0\left(e^{(b_0 - a_0)kt} - 1\right)= x\left(- 1+\frac{b_0}{a_0}e^{(b_0 - a_0)kt}\right)$$

On isole $x$ en divisant par le terme en $-1 + \frac{b_0}{a_0}$

$$\frac{b_0\left(e^{(b_0 - a_0)kt} - 1\right)}{\left(- 1+\frac{b_0}{a_0}e^{(b_0 - a_0)kt}\right)}= x$$

On reformule juste le $-1$ après le terme positif :

$$\frac{b_0\left(e^{(b_0 - a_0)kt} - 1\right)}{\frac{b_0}{a_0}e^{(b_0 - a_0)kt}- 1}= x$$

Je suis pas sur qu’on puisse faire plus long et plus détaillé :p . Je m’y suis juste essayé pour le challenge, je ne suis pas matheux j’ai fais des opérations très simple j’voulais pas faire trop de truc que je ne comprenais pas …

+0 -0

Du coup en version rapide avec la remarque précédente, ça donne :

$$(b_0-a_0)kt = \ln\left(\frac{a_0(b_0-x)}{b_0(a_0-x)}\right)$$
$$ \exp\left((b_0-a_0)kt\right) = \frac{a_0(b_0-x)}{b_0(a_0-x)} $$
$$ \frac{b_0}{a_0}\exp\left((b_0-a_0)kt\right) = 1 + \frac{b_0-a_0}{a_0-x} $$
$$ \left[\frac{b_0}{a_0}\exp\left((b_0-a_0)kt\right) - 1\right]^{-1} = \frac{a_0-x}{b_0-a_0} \left( = \frac{x-a_0}{a_0-b_0}\right)$$
$$ \frac{a_0-b_0}{\frac{b_0}{a_0}\exp\left((b_0-a_0)kt\right) - 1} + a_0=x $$
+0 -0

Puisque chacun y va de son petit conseil, à moi :D : Remplacer les gros truc par des trucs simple, c’est plus lisible ! Ca change rien fondamentalement, mais le calcul est rapide à écrire et ça donne du courage pour attaquer les grosses expressions bien sale (et sa limite le nombre d’erreur d’inattention par ailleurs).

Exemple :

$$ \frac{{({b_0} - x)}}{{({a_0} - x)}} = \frac{{{b_0}}}{{{a_0}}}\exp (({b_0} - {a_0})kt)$$
$$\frac{{({b_0} - x)}}{{({a_0} - x)}} = A$$

d’ou :

$$({b_0} - x) = A(a_0-x) $$ $$x(A-1) = Aa_0+b_0 $$ $$x = \frac{Aa_0-b_0}{A-1} $$

et tu re-remplace A par son expression

+4 -0
Connectez-vous pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore membre ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte