Je ne connais pas du tout mais on voit déjà que le coefficient doit être négatif visuellement. On a un plan vectoriel $P$ (passant par l’origine). Le $\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z$ est la pente de la droite d’intersection de $P$ et $\{z=0\}$. Vois-tu la position de la droite suivant si le coefficient est négatif ou positif ? On fait pareil avec les deux autres plans. On "voit" alors qu’il n’est pas possible que le plan coupe les trois plans des coordonnées de manière à donner que des coefficients positifs (par exemple).
L’idée se formalise et donne la relation voulue. Les preuves de Wikipédia ne sont pas claires du tout, du coup j’ai cherché autre chose et voici ce que j’ai trouvé. Soit $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ les dérivées des fonctions implicites, je précise pas l’ordre, vous verrez comment ça tombe.
- On commence par le vecteur nul.
- On ajoute $(1,\alpha,0)$ (on reste dans le plan $P$).
- On ajoute $(0,-\alpha,-\alpha \beta)$, on trouve $(1,0,-\alpha \beta)$.
- On ajoute $(+\alpha \beta \gamma, 0, +\alpha \beta)$, on trouve $(1+\alpha \beta \gamma, 0, 0)$. Comme on est dans le plan $P$, on obtient $1 + \alpha \beta \gamma = 0$.
Avec ça, on voit que ça se généralise en dimension supérieure (à la place du plan $P$ on a un hyperplan, et on regarde les intersections avec les plans générés par deux vecteurs de la base canonique), et le $-1$ ici est $(-1)^3$, on est en trois dimensions. En deux dimensions, on trouve la relation donnée par hobi1.
Bon, je ne sais même pas formaliser ce que je dis (enfin, le plan dont je parle est le plan tangent, ok, mais j’ai qu’une représentation intuitive de tout ça).
Ça me fait penser à de l’homologie tout ça (je ne connais pas non plus), on retrouve l’idée qu’un « chemin » de $b$ vers $a$ est $a-b$. Ici, on a un petit groupoïde dont les objets sont les coordonnées et dont les « poids » des flèches sont données par les dérivées partielles en fixant tout le reste. La composition de deux flèches de poids $a$ et $b$ donne une flèche de poids $-ab$. Le poids des flèches identités sont $-1$. On obtient que quand on a un cycle de flèches dont les poids sont $a_1,\dots,a_n$, on a
$$(-1)^{n-1} a_1 \cdots a_n = -1 \text{.}$$
Je ne comprends rien à ce que je fais mais ça a l’air de fonctionner (enfin, je ne considère pas que je comprends). Par exemple, si $a$ et $b$ sont deux flèches inverses, on obtient $-ab=-1$, soit $a = 1/b$, c’est la relation de hobi1. On obtient aussi dans notre exemple en trois dimensions que, puisque la flèche de $z$ vers $x$ est $\gamma$, la flèche de $x$ vers $z$ est $\gamma^{-1}$. On obtient donc $-\alpha \beta = \gamma^{-1}$, tout est cohérent, c’est bon.
Est-ce qu’on peut généraliser avec des « multiarêtes », des arêtes entre trois objets, etc. ? Que de trucs à explorer…
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