Structures algébriques problèmes de compréhension

Bonjour,

Je suis en ce moment un cours sur les structures algébriques, néanmoins il y a deux trois notions je ne comprend pas très bien. Voici mes questions naïves : - Dans mon cours on voit souvent la notation : $E[x]$. Je sais que lorsqu’on a un ensemble et que celui-ci est suivit de crochets $[.]$ cela signifie que l’on parle de polynômes. Par exemple si je ne me trompe pas : $x^2+1 \in \mathbb{N}[x]$. Mais lorsqu’il y a plusieurs variables la définition est toujours la même ? Par exemple est ce que : $ix^4+y^{23} \in \mathbb{C}[x, y]$ ?

• En dehors de cette simple notation, que veut dire la notation : $E[x]/(x^2)$ ? Je ne comprend pas la notation de division ? Que signifie par exemple : $\mathbb{N}[x]/(x^2)$ ?

• Mon cours sur les structures algébriques est bourré de définition (morphisme de groupes, anneaux, corps, idéaux…), néanmoins j’ai du mal à voir à quoi tout cela sert ? Je crois que c’est pratique en théorie algébrique des nombres mais j’aimerais avoir des exemples un peu plus parlant  ?

Merci de m’avoir lu !

Merci beaucoup pour ta réponse !

Effectivement je vais étudier cette notion d’idéal plus en détails . Je comprend bien ton exemple néanmoins on peut faire l’étude du cercle : $x^2+y^2-1=0$ sans pour autant savoir que cela correspnd à l’étude de : $\mathbb{R}[x, y]/(x^2+y^2-1)$ ?

Ça dépend de ce que tu veux faire … Mais aujourd’hui on a besoin de ces outils algébriques pour faire de la géométrie. (Même sans aller dans de la géométrie algébrique.)

Ok merci ! Je pense que je manque d’expérience de toute façon.

D’ailleurs on est d’accord que si on a le magma suivant : $(E, \times)$ (tel que la LCI soit la multiplication) et que $E$ est un groupe alors on a nécessairement : $ Card(E) = +\infty$ ? Même chose pour tous les sous groupes de $E$. Merci !

En dehors des singleton je ne vois pas d’exemples…

EDIT : j’ai répondu trop vite, je vais étudier les exemples que tu as fournis

Merci beaucoup pour ta réponse ! Je comprends mieux…

Juste pour finir, on dit que deux groupes sont isomorphe lorsqu’il existe un isomorphisme entre ces deux groupes ?

De même par exemple, si on me demande en exercice de trouver tous les automorphisme de $(\mathbb{Z}, \times)$ cela revient à trouver toutes les fonctions :

? Merci !

Ok merci ! Donc si on note $S$ l’ensemble des fonctions effectuant un morphisme et $S'$ l’ensemble des fonctions réalisant un automorphisme on a : $S'$ qui est inclut dans $S$ et ainsi pour trouver $S'$ il me suffit de trouver dans $S$ toutes les fonctions bijectives. Je me trompe ?

C’est le cas, mais c’est moins évident que tu ne le dis.

Tu as l’air assez perdu dans ces notion. Pourquoi ne pas suivre un vrai cours d’algèbre ?

Merci beaucoup d’avoir pris le temps de m’aider.

En fait le problème c’est qu’en ce moment je suis un cours d’algèbre mais il est bourré de définition un peu imbitable… Donc si tu avais un livre ou pdf clair et sympa sur le sujet ce ne serait pas de refus

Il y a le poly de O. Debarre (Algèbre 1) qui est très complet mais difficile en première approche. Sinon il y a aussi le livre de Calais sur la théorie des groupes qui est bien écrit. En anglais il y a le livre de Lang (Algebra) qui est un grand classique.

Après sur le net il y a un très grand nombre de ressources. À toi aussi de trouver ce qui te plaît le plus …