DL à l'ordre 1

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonsoir,

Je n’ai jamais vraiment abordé les DL sauf dans mon cours sur la dérivation où on nous présente un DL à l’ordre 1 :

Voici le passage du cours en question

Et dans le tuto en publication d’aabu, il est demandé (ou sous-entendu) de montrer que $sin(arctan(x)) \approx x$ à l’aide d’un DL à l’ordre 1 en 0.

A moins qu’il me soit hors de portée de démontrer une telle chose pour l’instant, je souhaiterais bien que vous m’aiguillez un peu… :D

Bonne soirée!

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J’ai un tuto sur le sujet …

Pour l’écrit d’aabu, ce n’est pas très compliqué :

$$ \tan(x) =\frac {\sin (x)}{\cos (x)} \simeq \frac {x}{1} \simeq x $$

donc ${\rm arctan}(x) = x$ (par formule pour la réciproque). Comme $\sin(x)\simeq x$, ça conclut.

+3 -0

En effet, c’est une méthode très simple, elle revient à écrire "par l’approximation des petits angles on a ça…" mais je voulais simplement savoir si une preuve un peu plus formelle, avec les DL comme l’indique Aabu, pouvait être à ma portée.

Sinon, je me référerai à ton tuto que j’ai survolé il y a un moment mais le contenu me réjouit vraiment (je savais qu’il était là, je me suis jamais vraiment lancé)…

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Pourquoi ne pas utiliser la définition d’un DL et utiliser la dérivée d’une fonction composée ? En fait dans un DL tu oublies le terme avec un petit o devant (c’est le reste du DL, qu’on ne prend en général pas compte d’où le fait qu’on ai un signe presque égal et non une égalité stricte). Donc pour un DL à l’ordre 1 tu dois simplement faire :

$$DL(f) = f(a)+ f'(x)(x-a)$$ Si tu évalue ta fonction en zéro (ce qu'on fait souvent) ça te donnes la formule : $$DL = f(0)+f'(0)x$$

Maintenant si tu prends la fonction $f(x) = sin(arctan(x))$ tu dois pouvoir trouver son développement limité en remplaçant dans la formule et en utilisant la dérivation composée pour $f'(x)$ non ?

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Et si tu connais pas tes DL de fonctions trigo, tu peux toujours voir que $\sin\circ\arctan (x)=\dfrac x{\sqrt{x^2+1}}$. Le DL est alors immédiat.

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Rassurez-moi, tout le monde recopie la même erreur depuis le début ?

Le DL de sin(arctan(x)), c’est x, ce n’est pas 1, n’est-ce-pas ?

elegance

Oui pour la deuxième, non pour la première puisque personne n’a mit ça dans sa réponse…

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Pourquoi ne pas utiliser la définition d’un DL et utiliser la dérivée d’une fonction composée ?

C’est strictement équivalent (dans le cas de l’ordre 1). Et c’est plus général dans les ordres supérieurs.

Par habitude, je sais que calculer une composition comme ça est plus agréable parce qu’on n’a jamais trop de termes à calculer en même temps. Et c’est aussi plus facile de vérifier ses calculs quand ligne à ligne il ne se passe pas grand chose.

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