Topologie - Problème
Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.
Bonsoir !
Je ne connais pas grand chose à la topologie. Voici le problème que j’aimerais résoudre :
Soit $C$ un carré ouvert du plan $\mathbb{R}^2$. Existe-t-il une partition de $C$ en segments fermés (non réduits à un point) ?
Je ne sais pas si il y a un rapport direct avec la topologie, mais ce qui me fait dire ça c’est que j’avais vu un article je ne sais plus trop ou de Terence Tao sur des sujets similaires mais plus complexes.
Ainsi si quelqu’un aurait des idées, ce ne serait pas de refus !
merci !
Segments fermés pour la topologie induite ou la topologie de $\mathbf R^2$?
On peut aisément Je pense qu’on peut faire une partition indénombrable, mais ça me paraît pas super intéressant.
Banni
On peut partitionner le segment ouvert en segments fermés (en un nombre dénombrable). On commence par couper un tiers au milieu, puis on recommence récursivement avec les deux bouts. Ensuite on peut appliquer ça à toutes les sections verticales du carré. On peut faire pareil pour n’importe quel ouvert du plan.
On peut aussi partitionner le disque fermé en segments fermés.
@Holosmos : Je n’ai pas de preuve mais je pense qu’on est obligé de partitionner en un nombre indénombrable.
EDIT J’ai dit une grosse bêtise. Dans ce que je fais plus haut on manque les points de l’ensemble triadique de Cantor. Il est impossible de partitionner $\left]0,1\right[$ en un nombre dénombrable de segments fermés.
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