Injectivité, où es-tu?

Bonsoir, je suis en train de rédiger un petit billet sur les notions d’injection, de surjection et de bijection, et un petit problème existentiel me trotte dans le crâne…

Soit $f : E \rightarrow F$ et $g : F \rightarrow E$.

Si on suppose que $g \circ f(x) = id_E$, je souhaite montrer que f est injective. Très simple je pense, on a $\forall x, x' \in E, g \circ f(x) = g \circ f(x') \iff id_E (x) = id_E (x') \iff x = x'$. Cela me permet donc de conclure.

Mais j’ai l’impression qu’il manque une condition, j’aurais du ajouter : "supposons $f(x) = f(x')$" au début. Cependant, je n’arrive pas à voir ce qui change si je ne la précise pas. Je m’explique : puisque l’équivalence est $x = x'$, on a donc $f(x) = f(x')$ et inversement, donc cela m’amène à penser que je devrais pouvoir conclure sans préciser…

Très bien.

Raisonner par implication me semble aussi plus propre au passage, même si mon cours utilise les équivalences. En revanche tu as écris $f \circ g$ injective, j’aurai écrit $g \circ f$ injective.

Bonjour, je me contre à un autre petit soucis. Je souhaiterais montrer la réciproque : si $f : E \rightarrow F$ est injective, alors il existe $g : F \rightarrow E$ tel que $g \circ f = id_E$.

Je n’arrive pas à voir comment démarrer en utilisant la définition $\forall (x, x') \in E^2, f(x) = f(x') \implies x = x'$…

Dsl pour le retour tardif, je révise le bac.

Merci pour ta réponse Holosmos, qui me donne un gros coup de pouce!

Donc, en reprenant les fonctions $f$ et $g$ et en découpant $F$ de la sorte : $F = f(E) \cup (F - f(E))$ (tu écris $E - f(E)$ dans ton post…) :

$f : E \rightarrow f(E)$ est bijective car $\forall y \in f(E), \exists x \in E : y = f(x)$ ce qui permet d’affirmer, en plus de l’injectivité, la surjectivité de $f$. La fonction $g : f(E) \rightarrow E$ est son inverse donc $\forall y \in f(E), f \circ g(y) = f(x) = y$. Ainsi, $f \circ g = id_F \iff f \circ g \circ f = id_F \circ f \iff \forall x \in E, f(g \circ f(x)) = id_F \circ f(x) = x$ et par injectivité de $f$ on peut écrire $g \circ f = x = id_E$.

Posons maintenant $f : E \rightarrow (F - f(E))$ et $g : (F - f(E)) \rightarrow E : y \mapsto x$. On a $\forall x \in E, g \circ f(x) = g(y) = x$ d’où $g \circ f = id_E$.

Cette démonstration semble être mise en défaut, comme le suggère blo yhg, lorsque $E = \emptyset$.

Je comprends pas ce passage. Comment tu définis $f$ sur $F-f(E)$ ?

En posant $f(x) = y \in F - f(E)$ et $g(y) = x \in E$, on a bien $\forall x \in E, g \circ f(x) = g(y) = x$?

Ça n’a pas de sens de poser $f(x)\in F-f(E)$ puisque évidemment on a $f(x)\in f(E)$.

C’est très mal formulé, je n’ai pas réfléchi.

Pour tout $x$ de $E$, $f(x)$ appartient à $F = f(E) \cup (F - f(E))$.

$E_0$ et $E_1$ sont deux partitions de $E$ telles que $E_0 \cup E_1 = E$. Donc pour tout $x \in E_0$, $f(x) \in f(E)$ et pour tout $x \in E_1$ $f(x) \in F - f(E)$.

En posant $\forall x \in E_1, f(x) = y \in F - f(E)$ et $g(y) = x \in E_1$, on a bien $\forall x \in E_1, g(f(x)) = g(y) = x$ donc $g \circ f = id_E$.

Bien sûr que non. Tout $x\in E$ (que ce soit $E_0$ ou $E_1$) donne $f(x)\in f(E)$. Tu n’as jamais $f(x)\in F-f(E)$, parce que précisément, toutes les images sont dans $f(E)$.

Je comprend mon erreur mais je ne vois plus vraiment où aller dorénavant.

Tu as oublié que c’est $g$ que tu cherches à définir. La définition de $f$ tu ne peux pas y toucher. Jusque là, tu as su définir $g$ sur $f(E)\subset F$.

Il te reste donc à définir $g$ sur $F-f(E)$. Et la seule contrainte que tu as, c’est de vérifier que $g(f(x))=x$. Mais ça tu sais que ça ne dépend pas de la définition de $g$ sur $F-f(E)$.

Si $g$ est définie sur $F - f(E)$ alors $g \circ f$ n’est pas définie. Donc $E = \emptyset$…

Tu te trompes. Si $g$ est définie sur $F$ alors elle l’est forciori sur $F-f(E)$.

Bon, inutile de continuer à poster inutilement pour que le topic fasse trois pages, je vais réfléchir un peu, revoir mon cours, hein, parce que sinon.

Merci pour ton aide.

Tu voudrais dire que je peux définir $g$ par $x \mapsto x$ sur $F - f(E)$?

Il n’y a généralement pas d’inclusion entre $F-f(E)$ et $E$. Donc tu ne peux pas associer $x$ à $x$ …

Il te reste donc à définir $g$ sur $F−f(E)$. Et la seule contrainte que tu as, c’est de vérifier que $g(f(x))=x$.

Le problème que ça me pose, c’est que si f(x) ne prend pas ses valeurs sur $F - f(E)$ comment $g \circ f$ peut-être définie pour $g : F - f(E) \rightarrow E$?