Ensemble ouvert ou fermé ?

Bonjour,

J’ai du mal à comprendre comment démontrer qu’un ensemble est ouvert ou fermé.

Prenons (pour l’exemple) l’ensemble suivant : $D = \{(x,y) \in R^2 | x > 0, y>0, x \neq y \}$

Si on prend la défition, $D$ est ouvert si pour tout $a = (x_a, y_a) \in D$, il existe $r$ tq la boule de rayon r (donc r>0) soit incluse dans $D$. Avec la boule, $B(a,r) = \{ (x,y) \in R^2 | ||x-x_a , y-y_a || < r \} $

Donc la question c’est de trouvé un $r$ tel que $B \subset D$.

Mais je vois pas bien comment choisir ce $r$.

Tu dois trouver, pour tout point de l’ensemble, une boule qui marche, mais le rayon (et la boule) peut changer selon le point. J’ai du mal à te donner une indication sans te donner une solution. Dire que $r$ peut dépendre de $(x_a,y_a)$, ça te suffit pour avoir un déclic ?

Indication : si $x>0$ alors $x-x/2>0$.

Hummm … Je reste un peu dans le flou. Enfin instinctivement je dirais quelque chose comme, r doit être égale à la distance entre le centre de la boule (donc $a$) et la droite d’équation $y=-x$ pour pas que la boule depasse sur la droite et ne soit plus dans D ?