Dérivé d'une fonction suivant tout vecteurs

Bonjour,

Je travaille sur les dérivée de fonction à plusieurs variables, et en faisant des exercices je me suis posé une question, sans en trouver la réponse sur le net.

Je m’explique : dire qu’une fonction ($f: R^n \rightarrow R$) est dérivable suivant tout vecteurs ($w$ par exemple) est-ce identique de dire que la fonction est dérivable suivant les $n$ vecteurs de la base $R^n$ ?

Je dirais oui (parce que tout vecteurs $w$ peut être décomposé suivant les vecteurs de la base) mais sans grande conviction mathématique.

Merci

Modulo une hypothèse de continuité, ça doit être vrai.

Je pense que tu peux essayer de poser explicitement le calcul.

Salut,

L’implication $f$ dérivable $\forall w \in \mathbb{R}^n \Rightarrow f$ dérivable pour les vecteurs d’une base de $\mathbb{R}^n$ est triviale. Par contre je ne crois pas que ça marche dans l’autre sens: $f(x, y) = |x-y||x+y|$ a des dérivées partielles bien définies à l’origine, mais n’est pas dérivable dans d’autres directions que $e_x$ et $e_y$ (à vue de nez).

Normalement si tu as des dérivées partielles continues sur une base, alors tu es différentiable et donc dérivable selon n’importe quelle direction.

Ah autant pour moi, j’avais dans la tête que "dérivable $\forall w \Leftrightarrow$ le gradient existe", du coup mon contre-exemple ne marche pas.

Par contre $f(x, y) = \sqrt[3]{|xy|}$ devrait être un contre-exemple non ? Les dérivées partielles sont continues en $(0, 0)$, mais si on prend $n = (\cos{\theta}, \sin{\theta})$, on a

qui n’existe que si $\theta = k\frac{\pi}{2}$. Ou alors je vois pas l’erreur.

Je ne suis pas sûr que ce soit même simplement dérivable en 0…