Fonction de partition

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Bonjour à tous,

Je regarde pour le moment les fonctions de partitions par intérêt personnel et je ne comprends pas vraiment ce que c’est. Dans un livre, c’est défini comme $q = \sum\limits_i {{q_i}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - \beta {\varepsilon _i}}}} $ . J’avoue ne pas bien comprendre ce que que $\beta$ (je sais que c’est $1/(k_b \times T)$ selon Wikipedia mais aucune idée du pourquoi) et $q_i$ ni ce que ça représente vraiment et en quoi c’est utile.

On m’a dit que c’était utile pour calculer le nombre d’états d’une molécule en vibration par exemple (si j’ai bien compris…).

Si vous avez des infos ou des choses qui pourraient potentiellement m’aider ça serait cool :)

Merci

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Ouch. Cours de mécanique statistique en accéléré !

Considérons N états possible, de 1 à N. Chaque état i à une énergie Ei. Alors, dans l’ensemble canonique, on a la probabilité non normalisée de l’état i qui est $P(i) = e^{-E_i/k_B T}$. Je passe les détails sur la dégénérescence. Il faut normaliser cette proba, donc la vrai proba est

$$P(i) = \frac{e^{-E_i/k_B T}}{\sum_{j=1}^N{e^{-E_j/k_B T}}}\text{, avec de fait } \sum_{i=0}^N P(i) = 1$$

L’idée est alors d’introduire la fonction de partition, définie comme

$$Z = \sum_{j=1}^N{e^{-E_j/k_B T}}$$

On peut tout à fait définir $\beta = 1/(k_B T)$, ça ne change rien.

Pourquoi c’est super de faire ça ? Parce que si tu connais la fonction de partition de ton système, tu connais tout. L’énergie interne moyenne ? $U = - \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}$. L’énergie libre ? $F = -k_BT\ln Z$. Mais aussi l’entropie, la capacité calorifique, etc. Le tout en profitant de l’extensivité de ton système.

J’espère avoir pu t’éclairer, après, je ne sais pas ce que tu cherches exactement.

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Le fait de définir $\beta = \frac{1}{{{k_B}T}}$ c’est pas au hasard, rassure moi ? Je pensais que c’était dérivé de la fonction de partition de translation $q = {\left( {\frac{{2\pi m}}{{\beta {h^2}}}} \right)^{3/2}}V$. Avec, $\langle \varepsilon \rangle = - \frac{{\partial \ln q}}{{\partial \beta }} = \frac{3}{2}\beta $ et puis analogie avec la théorie cinétique des gaz (équipartition de l’énergie) :p (Bon, j’ai pas vraiment encore révisé ce cours donc je dis peut-être n’importe quoi!)

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Merci pour ta réponse :)

Considérons N états possible, de 1 à N. Chaque état i à une énergie Ei.

Est-ce que N doit forcément être entier et les états $E_i$ ont une énergie différente ?

Mais pourquoi forcément cette fonction avec une exponentielle qui contient l’énergie ?

Je passe les détails sur la dégénérescence.

Ca m’intéresse :D On peut considérer des états à la même énergie avec cette formule (les différentier d’une manière) ?

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Ce n’est pas « au hasard », $\beta $ intervient un peu partout, effectivement. Typiquement, on n’a pas envie de dériver une grandeur par rapport à 1/(kBT). :-° Il simplifie grandement les calculs. De là à lui attribuer une grandeur physique facilement compréhensible… Il n’y en a pas dans mon domaine. Faut dire, des trucs facilement compréhensibles en mécanique statistique…

Est-ce que N doit forcément être entier et les états Ei ont une énergie différente ?

En mécanique quantique, on a parfois des états continus. C’est un cas plus complexe (mécanique statistique quantique). Je ne l’ai jamais rencontré personnellement.

Les énergies entre deux états peuvent être identiques ; on peut aussi sommer sur les énergies, mais il faut alors tenir compte de la dégénérescence associée à une énergie (nombre d’états portant la même énergie).

La probabilité de trouver une énergie s’exprime alors, en notant gi la dégénérescence du niveau d’énergie Ek,

$$P(E_k) = g_k\frac{e^{-E_k/k_B T}}{\sum_k{g_j e^{-E_j/k_B T}}}$$

Idem pour la fonction de partition. On trouve parfois une notation avec $\Omega_S(E)$, nombre de microétat d’énergie E dans le système S.

Mais pourquoi forcément cette fonction avec une exponentielle qui contient l’énergie ?

Tu me fais repartir loin, là. :P

Par définition de la température,

$$\frac{1}{k_BT} = \frac{\partial \ln \Omega}{\partial E}$$

Si tu exprimes la probabilité d’un microétat d’énergie E en fonction de tous les microétat possibles, tu retombes sur tes pattes.

Je te recommande par exemple ce document, relativement accessible (pages 24 et plus), même si peu complet (on peut pas tout avoir).

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