Projection parallèle à une droite

Bonjour,

J’ai un exercice où j’ai un problème de concept en algèbre linéaire. Voici l’exercice (20 partie b, il faut cliquer en haut a gauche):

https://cmspc11.epfl.ch/AFNextGen/aflex/index?homework=189#

J’ai du mal a me convaincre que étant donné que la base et l’image ne sont pas orthogonaux, quand on veut trouver les coordonnées d’un point quelconque dans la base formée par l’image et le noyau il faut projeter le point sur l’image et le noyau en projetant respectivement dans des directions parallèle au noyau et à l’image.

Quelqu’un pourrait m’expliquer ?

Merci d’avance !

J’ai du mal a me convaincre que étant donné que la base et l’image ne sont pas orthogonaux, quand on veut trouver les coordonnées d’un point quelconque dans la base formée par l’image et le noyau il faut projeter le point sur l’image et le noyau en projetant respectivement dans des directions parallèle au noyau et à l’image.

Ça me paraît faux. Et de ce que je lis dans la méthode, c’est pas non plus ce qui est demandé.

Commence par exhiber une base de l’image et une base du noyau. Ça devrait te donner une base du plan, et donc te permettre de décomposer suivant cette base.

J’ai une base de l’image et une base du noyau, qui forme ma base du plan, mais les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux et donc je ne comprends pas très bien comment calculer la projection d’un point sur ma nouvelle base, puisque je dois faire un projeté selon une droite.

Mais je comprends que $\vec{OP} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$ avec $\vec{a}$, et $ \vec{b}$ bases du noyau et de l’image.

Merci pour ta réponse !

EDIT: ce que j’ai du mal à voir c’est comment calculer le $\mu$ et le $\lambda$

Ah.... je suis bête… ou fatigué. Merci.

Et on doit projeter selon les droites pour que ça fasse forme un parallélogramme avec pour diagonale OP et deux côtés formés par les vecteurs $\vec{a} \vec{b}$. C’est ça ?